晶体学基础-郑启泰讲稿-清华PPT格式课件下载.ppt

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4.2旋转反射旋转反射图形移置包括两个步骤，先进行以N为轴的旋转（2/N），然后再以轴上的一点倒反（图），该移置称为旋转反射。

且所有连接对应点的线段均被倒反中心平分。

5平移平移图形从起始位置按给定周期移置，该移置称为平移，相关联的图形为叠合相等，属第一类移置。

6滑移反映滑移反映移置含有两个步骤:

图形先经平面反映，相继进行平行于平面的平移，该移置称为滑移反映移置。

相等图形互呈对映相等，属第二类移置。

7螺旋旋转螺旋旋转包含两个移置步骤：

先绕N轴旋转2/N，然后在沿N轴方向平移t/N（t为整数，等于（N-1）/N），该移置称为螺旋旋转移置，相关的图形为叠合相等，属第一类移置。

8恒等恒等（不动不动）移置移置为绕N轴旋转2（即不动）的移置。

显见为第一类移置。

第一类移置：

包含平移，旋转（含恒等），螺旋旋转，图形为迭合相等；

第二类移置：

倒反，平面反映，旋转反映，旋转反射，滑移反映，图形为对映相等。

二二图形的对称图形的对称1图形的对称特征图形的对称特征任何一个对称图形可分为若干个相等部分；

而且在图形移置中包含有至少一个不动的几何元素（点、线、面）。

则对应的几何元素定义为：

倒反（对称中心）、对称面（反映面）、对称轴、反轴、平移、螺旋轴、滑移面共七类。

2对称是图形移置的特例对称是图形移置的特例系指移置后的图形是其自身重复。

对称是图形移置的特例。

虽然上述描述仅仅是从几何学入手的一种方法，但具有直观、形象、几何关系清晰等特点。

如果把实现图形对称变换过程中不动几何元素视为基本元（要）素，那么这些对称元素就能组合成一定的集合群。

对称是物质世界的基本几何属性，它是在一定的测量精度范围内的一种相对规律。

比如平移对称元素就是这一相对规律的最好例证。

晶体对称性是在晶体这种特定的物质图形上的具体反映。

这是从几何学角度认识图形对称性质的方法。

若一个图形可分为若干个相等部分，经移置后能自身重复，同时图形中含有不动的几何元素（点、线、面），则称该图形具有对称性。

不动的几何元素就称为对称元素。

在传统的几何晶体中可概括为：

对称轴N、对称面m、反轴-N、对称中心-1、平移T、螺旋轴Nt与滑移面mt，字母所示为相应的国际通用符号。

3.1对称操作对称操作如图所示（正三角形、正方形）几何图形经过某一对称元素操作后，图形自身重复，此操作称为对称操作。

在完成几何图形的对称操作过程中，图形中任意两点间的距离不变。

如果几何图形在移置中至少有一点不动，则称为点操作；

否则称为空间对称操作。

3对称操作与对称变换对称操作与对称变换3.2对称变换对称变换如果将图形抽象为一个几何点，并且引入一个参考系（坐标系），使坐标轴（系）与对称元素形成一定的联系。

如包含3（或6）次轴的坐标系，要求3（或6）次轴平行于坐标系的Z轴。

此时一个几何图形的对称操作（几何学）就表现为在OXYZ坐标系中，诸点间（AAAA）的变换，这一变换的特点不是以图形表示而是以他们在坐标系中的点位置（xyz），（xyz）来形成一个点系，并以符号的形式记录下这一对称操作过程，称之为对称变换。

它是实正交变换中的一个重要内容。

相应于图形（晶体）对称操作的点系对称变换是掌握实正交变换的一个经典实例。

三三晶体中的对称元素晶体中的对称元素1晶体与非晶体晶体与非晶体自然界中的各种元素以及由它们形成的各类化合物，通常以三种聚集态出现：

固态、液态、气态。

以固态形式存在的物质是由原子（或离子、分子）在三维空间的堆积形成。

如果原子（或离子、分子）是按照一种确定的方式在三维空间做严格的周期性的排列，即相隔一定的距离（即周期）重复出现，这样的物质称为单晶体，如：

食盐、糖、水晶等，一般称之为晶体；

如果原子（或离子、分子）在空间的分布不具备这种严格的周期规律就称为非晶体，如：

玻璃、塑料、松香、陶瓷等。

如果一个晶体是由许多具有随机取向的单晶体组成，称之为多晶体或粉晶；

如果一个晶体是由两个单晶体按照特定的取向生长结合在一起的就称之为孪晶。

有机分子的晶体一般都是从溶液中通过结晶过程（一种准平衡态现象）获得的。

按照不同的结晶条件有时可以得到多晶、孪晶或单晶体。

晶体的周期结构使它具备下述这些性质：

（1）确定的熔点。

（2）在合适的结晶条件下可以形成结晶多面体。

例如食盐晶体具有立方体外形，各种天然有机分子的结晶常表现为针（柱）状，片状或块状甚至是多面体形式，这表明在微观状态的原子（离子、分子）的规律排列与在宏观状态下的晶体外形的相容性。

象其他的一些几何图形一样，晶体具有确定的几何性质-对称性质，它是晶体的一种基本属性。

（3）各向异性。

即在晶体的不同方向上可以表现出不同的物理性质，如光学、力学、磁学性质等。

（4）均匀性。

同一块晶体，其各部分的宏观性质相同。

2晶体的特征对称元素晶体的特征对称元素-平移平移晶体，作为一种几何图形，一方面它将表现出一般几何图形所具有的对称元素，另一方面也将具有其特殊的对称元素。

1784年阿羽依在研究方解石性质时曾认为：

晶体可能是由一些“微粒”重复排列而成。

1912年劳厄的X射线衍射实验证实了晶体是由原子按照严格的周期排列规律而成。

假定以不在一个平面上的3个矢量t1t2t3作为描述图像周期排列特征的量，那么在晶体结构上存在的周期性含义是：

若以M表示晶体的某一状态（几何的、物理的），r表示晶体内某一点的位置，则有：

M（r）Mr+（m1t1+m2t2+m3t3）式中m1、m2、m3为整数。

上式表示在r处与在r+（m1t1+m2t2+m3t3）处的状态是相同的（即对称的）。

因此，反映物质图像周期性这一对称性质可以用t1t2t33个矢量组成的一个平行六面体来描述。

这些平移矢量就是晶体的特征对称元素，简称平移，记为T。

在晶体中允许出现的平移矢量有七种：

t1、t2、t3、（t1+t2）/2、（t2+t3）/2、（t1+t3）/2、（t1+t2+t3）/2按对称的定义，在平移对称元素的作用下晶体的微观图形应该是自身重复的。

若沿t1，t2，t3方向平移，图形将重复，这意味着周期排列的原子分布图像应该是一个无限的点阵形式，通常引入“空间点阵”这一几何形象来描述晶体的平移对称特征。

平移对称元素是晶体的特征对称元素，所谓晶体系指其原子（离子、分子）间存在着严格确定的平移对称元素。

由于它的存在限制了在晶体中（结晶多面体与微观结构）允许存在的对称元素的形式。

近年来发现的“准晶体”则是不具有“平移对称元素”的另一种固体存在形式。

3晶体的宏观对称元素晶体的宏观对称元素在晶体的宏观观察（目测或显微镜）中所表现的对称性称为宏观对称性或外形对称性。

显然，晶体的外形是一幅有限的闭合的几何图形，并以晶面、晶棱、顶点这些几何要素描述它的形态特征。

晶体的宏观对称中允许存在的对称元素仅有对称轴、对称面、对称中心、反轴四类，统称为宏观（或闭合性）对称元素。

反映在晶体外形上的对称性质与其在微观结构上的对称性质彼此应该是相容的，并且也是互相制约的。

晶体的特征对称元素平移的存在限制了在晶体中可以出现的对称轴次仅有1、2、3、4、6等五种，这就是晶体学中的“对称定律”。

3.1对称轴对称轴N（1、2、3、4、6）3.2对称面对称面m对称面是晶体中的一个平面，它使得处于该面相反两侧的两部分图形互呈对映相等关系。

其国际符号为m，图示符号为（垂直于平面）或（平行于平面）。

3.3对称中心对称中心（-1）晶体内的某一点，如果在该点的相反两侧晶面成对出现，每对晶面的大小相等且相互平行，且距该点等远，称该点为对称中心或倒反中心。

国际符号为-1，图示为3.4反轴反轴-N（-3,-4,-6）反轴是这样的轴，首先围绕该轴旋转（2/），并通过轴上的一个点倒反，下表为各次反轴的国际符号、图示符号及对称操作。

因为一次反轴为对称中心，二次反轴为对称面，所以在晶体学中存在的独立反轴只有-3、-4、-6三个。

由图可见：

-3包含了一个三次对称轴和一个对称中心记为-3（3-1），-6包含了一个3次轴和垂直于它的对称面记为-6（3/m），-3、-6两个反轴又称为复合对称元素，而-4则为单一对称元素。

4晶体微观对称元素晶体微观对称元素在晶体的微观结构中所表现出的对称性称为微观对称。

其对称元素包括前面叙述过的对称轴、对称面、对称中心、反轴（它们自然也存在于微观结构中），称为闭合性对称元素；

尚存在平移以及与平移对称元素相关的新的对称元素滑移面与螺旋轴。

称为开放性对称元素，表明微观对称图形是不闭合的。

4.1滑移面滑移面m（a、b、c、n、d）为叙述方便，我们将组成晶体微观结构对称图形的诸相等部分，用一组等效的点来取代。

滑移面是这样的一个对称元素，它包括两步操作反映与平行于反映面的平移。

点A首先通过反映操作至虚拟点A1处，再沿某一方向滑移（平移）距离t到达A点，联系A与A的对称元素称为滑移面。

由于晶体宏观对称元素的限制，滑移分量t仅取特定的数值。

表列为存在于晶体微观结构中的a、b、c、n、d五种滑移面的符号。

晶态下的有机分子，通常出现的滑移面为a、b、c、n，但有时也出现d滑移面。

4.2螺旋轴螺旋轴Nt（21;

31,32;

41,43,42;

61,65,62,64,63）螺旋轴是这样的一类对称元素，它包括有两步对称操作绕轴的旋转和沿轴方向上的平移（图），点A绕轴旋转（2/n）角度后到达虚拟点A处，依次沿轴方向移动距离t到达点A，联系A与A的对称元素称为螺旋轴。

同样由于晶体宏观对称元素的限制，螺旋轴所含的平移分量t仅能取特定的值。

表列为晶体中存在的螺旋轴。

如图所示为通关分子间存在的二次轴。

四四有限图形有限图形（宏观宏观）的对称元素组合的对称元素组合定理定理每种晶体都具有确定的对称性，其原子（离子、分子）在空间的分布都与确定的对称元素相联系，那么这些有限种类的对称元素在为数众多的晶体中是如何分布的呢？

是否存在有确定数目的对称元素的组合方式呢？

对称元素的组合定理将回答这一问题。

在如下所示的长方体中（这是一个典型的几何图形），仔细观察会发现它包含有3个对称面，3个对称轴和1个对称中心，总计为7个对称元素。

这些对称元素的分布不是随意的而是有确定的规律。

比如，3个对称面与3个对称轴交于一点对称中心。

同样，在其他晶体中，原子、分子间存在的对称元素也是以类似的方式分布的。

以下我们首先介绍点对称元素的组合定理