数学物理方法配套教案(第四版)PPT格式课件下载.ppt

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定义：

绝对收敛与条件收敛称级数是绝对收敛的，如果是收敛的定理三：

收敛的必要条件级数收敛的必要条件是定理二：

收敛的充分必要条件设，则级数收敛的充分必要条件是和都收敛，其中un和vn皆为实数。

称级数是条件收敛的，如果是发散的，而是收敛的性质连续性可积性解析性级数在C上一致收敛，且wn（z）在C上连续，则级数在B内一致收敛，且wn（z）连续，则该级数在B内连续级数在B内一致收敛于f（z），且wn（z）在B内解析，则f（z）在B内解析，且问题的提出已知结果：

当f（z）在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f（z）必可展开成幂级数。

问题是：

当f（z）在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式。

第5节洛朗级数展开双边幂级数其中被称为双边幂级数的正幂部分被称为双边幂级数的负幂部分正幂部分负幂部分R2R1z0R1z0|z-z0|R1R2z0R2|z-z0|收敛环R2|z-z0|R2外收敛。

如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。

双边幂级数在收敛环内绝对内闭一致收敛。

孤立奇点概念若函数f（z）在某点z0在不可导，而在z0的任意邻域内除z0外连续可导，则称z0为f（z）的孤立奇点；

若在z0的无论多小的邻域内总可以找到z0以外的不可导点，则称z0为f（z）的非孤立奇点。

举例孤立奇点的例子非孤立奇点的例子第四章留数定理及其应用4.1留数定理4.2应用留数定理计算实变函数定积分*4.3计算定积分的补充例题5.3函数第五章Fourier变换5.1傅立叶级数5.2傅里叶积分和傅里叶变换Fourier展开基本函数族函数f（x）的Fourier展开式Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若f（x）满足：

（1）处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；

（2）在每个周期内只有有限个极值点，则l-l正弦级数和余弦级数若函数f（x）是奇函数，则Fourier展开成正弦级数若函数f（x）是偶函数，则Fourier展开成余弦级数例1：

设f（x）=x+1,x（0,l）,试将其展开成正弦级数例子l-l例2：

设f（x）=x,x（0,l）,试将其展开成余弦级数例3：

设f（x）=x,x（0,l）,试根据条件f（0）=f（l）=0将其展开成Fourier级数l-ll-l2l-2l复形式的Fourier级数基本函数族函数f（x）的Fourier展开式例1：

矩形函数是指试将矩形脉冲展开成Fourier积分例2：

具有2N个完整波形的正弦波列：

试将它展开成Fourier积分Fourier变换的性质性质1（导数性质）性质2（积分性质）性质4（延迟性质）性质3（相似性质）性质5（位移性质）性质6（卷积性质）性质1（导数性质）性质2（积分性质）性质4（延迟性质）性质3（相似性质）性质5（位移性质）多重Fourier积分例1解：

设y（t）=Y（p），方程两边取Laplace变换，有-1Y（p）利用初始条件，得到例2解：

设y（t）=Y（p），x（t）=X（p），方程组两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到-1X（p）-1Y（p）例3解：

设i（t）=I（p），方程两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到-1I（p）数学物理方程数学物理方程课程的内容课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。

数学物理方程数学物理方程课程的内容课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、1-6,14输运方程、7-8稳定场方程、9-13贝赛尔函数、勒让德函数数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。

简化假设：

（2）振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。

（1）弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。

牛顿运动定律：

横向：

纵向：

其中：

从麦克斯韦方程出发：

在自由空间：

例例2、时变电磁场、时变电磁场对第一方程两边取旋度，根据矢量运算：

由此得：

得：

拉普拉斯算子：

同理可得：

电场的三维波动方程磁场的三维波动方程例例33、静电场、静电场电势u确定所要研究的物理量：

根据物理规律建立微分方程：

对方程进行化简：

拉普拉斯方程（无源场）泊松方程同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。

边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。

初始条件：

能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。

边界条件：

能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。

二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：

能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。

初始时刻的温度分布：

B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件A、波动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度

（2）自由端：

x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。

2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、波动方程的边界条件

（1）固定端：

对于两端固定的弦的横振动，其为：

或：

（3）弹性支承端：

在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承。

或B、热传导方程的边界条件

（1）给定温度在边界上的值S给定区域v的边界

（2）绝热状态（3）热交换状态牛顿冷却定律：

单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。

热交换系数；

周围介质的温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件11、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念

（1）初始问题：

只有初始条件，没有边界条件的定解问题；

（2）边值问题：

没有初始条件，只有边界条件的定解问题；

（3）混合问题：

既有初始条件，也有边界条件的定解问题。

把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。

定解问题的检验定解问题的检验解的存在性：

定解问题是否有解；

解的唯一性：

是否只有一解；

解的稳定性：

定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。

33、线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的分类按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程22、微分方程一般分类、微分方程一般分类

（1）按自变量的个数，分为二元和多元方程；

（2）按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和非线性微分方程；

（3）按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。

55、微分方程的解、微分方程的解古典解：

如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。

形式解：

未经过验证的解为形式解。

66、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法