多元函数微分基本概念优质PPT.ppt

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因为方邻域与圆邻域可以互相包含.目录上页下页返回结束2.区域区域

（1）内点、外点、边界点设有点集E及一点P:

若存在点P的某邻域U（P）E,若存在点P的某邻域U（P）E=,若对点P的任一任一邻域U（P）既含E中的内点也含E则称P为E的内点内点；

则称P为E的外点外点;

则称P为E的边界点边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.目录上页下页返回结束

（2）聚点聚点若对任意给定的,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E（因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集导集.E的边界点）目录上页下页返回结束D（3）开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；

若点集EE,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;

。

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;

目录上页下页返回结束例如，例如，在平面上开区域闭区域目录上页下页返回结束整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域有界域,界域界域.否则称为无无它不是区域，因为它不是连通的开集目录上页下页返回结束*3.n维空间维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作即中的每一个元素用单个粗体字母x表示,即定义:

线性运算其元素称为点或n维向量.xi称为x的第i个坐标或第i个分量.称为n维空间,目录上页下页返回结束的距离距离定义为中点a的邻域邻域为与零元0的距离为记作则称x显然趋于a,目录上页下页返回结束二、多元函数的概念二、多元函数的概念引例引例:

圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式目录上页下页返回结束定义定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域定义域;

数集称为函数的值域值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数元函数,记作目录上页下页返回结束例如,二元函数定义域为圆域说明说明:

二元函数z=f（x,y）,（x,y）D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球目录上页下页返回结束三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设n元函数点,则称A为函数（也称为n重极限）当n=2时,记二元函数的极限可写作：

P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切目录上页下页返回结束例例1.设求证:

证证:

故总有要证目录上页下页返回结束例例2.设求证：

证：

故总有要证目录上页下页返回结束若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解:

设P（x,y）沿直线y=kx趋于点（0,0）,在点（0,0）的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!

在（0,0）点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例例3.讨论函数函数目录上页下页返回结束例例4.求解解:

因而此函数定义域不包括x,y轴则故目录上页下页返回结束方法2见到此类问题，用极坐标替换法，也可以得前面的结论：

令目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注.二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例3知它在（0,0）点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,目录上页下页返回结束例如例如,函数在点（0,0）极限不存在,又如又如,函数上间断.故（0,0）为其间断点.在圆周结论结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.目录上页下页返回结束定理定理：

若f（P）在有界闭域D上连续,则*（4）f（P）必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;

（3）对任意（有界性定理）（最值定理）（介值定理）（一致连续性定理）闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:

（证明略）目录上页下页返回结束解解:

原式例例5.求例例6.求函数的连续域.解解:

目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.区域邻域:

区域连通的开集2.多元函数概念n元函数常用二元函数（图形一般为空间曲面）三元函数目录上页下页返回结束有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1）函数2）闭域上的多元连续函数的性质:

有界定理;

最值定理;

介值定理3）一切多元初等函数在定义区域内连续目录上页下页返回结束备用题备用题1.设求解法解法1令目录上页下页返回结束1.设求解法解法2令即目录上页下页返回结束2.是否存在？

解解:

利用所以极限不存在.目录上页下页返回结束3.证明在全平面连续.证证:

为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得