高考理科数学考前集训三角函数的图象与性质解析版.docx
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高考理科数学考前集训三角函数的图象与性质解析版
2018年高考理科数学考前集训:
三角函数的图象与性质(解析版)
[考情分析]
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质,考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点,并常与三角变换交汇命题,难度为中档偏下.
年份
卷别
考查角度及命题位置
2017
Ⅰ卷
三角函数的图象变换·T9
Ⅱ卷
三角函数的最值问题·T14
Ⅲ卷
三角函数的性质·T6
2016
Ⅰ卷
三角函数性质·T12
Ⅱ卷
三角函数图象变换与性质·T7
Ⅲ卷
三角函数的图象变换·T14
2015
Ⅰ卷
三角函数的图象与性质·T8
[真题自检]
1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin
,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线C2
解析:
易知C1:
y=cosx=sin
,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin
的图象,再把所得函数的图象向左平移
个单位长度,可得函数y=sin
=sin
的图象,即曲线C2,故选D.
答案:
D
2.(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos
,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=
对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在
单调递减
解析:
根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=
时,x+
=3π,所以cos
=-1,所以B正确;f(x+π)=cos
=cos
,当x=
时,x+
=
,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos
在
上单调递减,在
上单调递增,故D不正确.所以选D.
答案:
D
3.(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)
,x=-
为f(x)的零点,x=
为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在
上单调,则ω的最大值为( )
A.11 B.9
C.7D.5
解析:
由题意得
则ω=2k+1,k∈Z,φ=
或φ=-
.
若ω=11,则φ=-
,此时f(x)=sin
,
f(x)在区间
上单调递增,在区间
上单调递减,不满足f(x)在区间
上单调;
若ω=9,则φ=
,此时f(x)=sin
,满足f(x)在区间
上单调递减,故选B.
答案:
B
4.(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=
-
(k∈Z)B.x=
+
(k∈Z)
C.x=
-
(k∈Z)D.x=
+
(k∈Z)
解析:
将函数y=2sin2x的图象向左平移
个单位长度,得到函数y=2sin
=2sin
的图象.由2x+
=kπ+
(k∈Z),得x=
+
(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=
+
(k∈Z).
答案:
B
5.(2015·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.
,k∈Z
B.
,k∈Z
C.
,k∈Z
D.
,k∈Z
解析:
由图象知,周期T=2
=2,
∴
=2,∴ω=π.
由π×
+φ=
+2kπ,得φ=
+2kπ,k∈Z,
不妨取φ=
,
∴f(x)=cos
.
由2kπ<πx+
<2kπ+π,
得2k-
<x<2k+
,k∈Z,
∴f(x)的单调递减区间为
,k∈Z,故选D.
答案:
D
6.(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+
cosx-
的最大值是__________.
解析:
依题意,f(x)=sin2x+
cosx-
=-cos2x+
cosx+
=-
2+1,因为x∈
,所以cosx∈[0,1],因此当cosx=
时,f(x)max=1.
答案:
1
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
[方法结论]
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,
,π,
,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换:
[题组突破]
1.(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)=sin2x和函数g(x)的部分图象,则g(x)的图象可能是由f(x)的图象( )
A.向右平移
个单位得到的
B.向右平移
个单位得到的
C.向右平移
个单位得到的
D.向右平移
个单位得到的
解析:
由题意可得,在函数f(x)=sin2x的图象上,(
,y)关于对称轴x=
对称的点为(
,y),而
-
=
,故g(x)的图象可能是由f(x)的图象向右平移
个单位得到的.
答案:
B
2.(2017·河西五市联考)将函数y=
cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
解析:
y=sinx+
cosx=2sin(x+
),将其图象向左平移m个单位后,得到的图象对应的函数解析式为y=2sin(x+m+
),由题意得,m+
=
+kπ,k∈Z,则m=
+kπ,k∈Z,故取k=0时,mmin=
,故选B.
答案:
B
3.(2017·合肥模拟)要想得到函数y=sin2x+1的图象,只需将函数y=cos2x的图象( )
A.先向左平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向右平移
个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.先向左平移
个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.先向右平移
个单位长度,再向下平移1个单位长度
解析:
先将函数y=cos2x的图象向右平移
个单位长度,得到y=sin2x的图象,再向上平移1个单位长度,即得y=sin2x+1的图象,故选B.
答案:
B
[误区警示]
作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量x的变化量,因此由y=sinωx(ω>0)的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移
个单位,而非|φ|个单位.
由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式
[方法结论]
函数y=Asin(ωx+φ)解析式的确定
利用函数图象的最高点和最低点确定A,利用周期确定ω,利用图象的某一已知点确定φ.
[题组突破]
1.(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导数f′(x)的图象如图所示,则f(
)的值为( )
A.2
B.
C.-
D.-
解析:
依题意得f′(x)=Aωcos(ωx+φ),结合函数y=f′(x)的图象可知,T=
=4(
-
)=π,ω=2.又Aω=1,因此A=
.因为0<φ<π,
<
+φ<
,且f′(
)=cos(
+φ)=-1,所以
+φ=π,φ=
,f(x)=
sin(2x+
),f(
)=
sin(π+
)=-
×
=-
,故选D.
答案:
D
2.(2017·沈阳模拟)某函数部分图象如图所示,它的函数解析式可能是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=-cos
解析:
通解:
不妨令该函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(ω>0),由图知A=1,
=
-
=
,于是
=
,即ω=
,
是函数的图象递减时经过的零点,于是
×
+φ=2kπ+π,k∈Z,所以φ可以是
,选C.
优解:
由图象知过
点,代入选项可排除A、D.又过点
,代入B,C知C正确.
答案:
C
[误区警示]
用五点法求φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=
;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=
;“第五点”时ωx+φ=2π.
三角函数的性质
[方法结论]
1.三角函数的单调区间
y=sinx的单调递增区间是
(k∈Z),单调递减区间是
(k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的递增区间是
(k∈Z).
2.三角函数奇偶性判断
y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+
(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+
(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+
(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数周期性的求法
函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=
.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的周期为T=
.
4.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域).
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
[典例] (2017·四川绵阳模拟)已知函数f(x)=cosxsin(x+
)-
cos2x+
,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)在[-
,
]上的最大值和最小值.
解析:
由已知有f(x)=cosxsin(x+
)-
cos2x+
=
sinxcosx-
cos2x+
=
sin2x-
(1+cos2x)+
=
sin2x-
cos2x
=
sin(2x-
).
(1)f(x)的最小正周期为T=
=π.
(2)因为y=sinx的单调递增区间为[2kπ-
,2kπ+
](k∈Z),
所以2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z,即kπ-
≤x≤kπ+
,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为[kπ-
,kπ+
](k∈Z).
(3)因为x∈[-
,
],所以2x-
∈[-
π,
],
所以sin(2x-
)∈[-1,
],所以f(x)=
sin(2x-
)∈[-
,
].
故f(x)在[-
,
]上的最大值为
,最小值为-
.
[类题通法]
1.在求解y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、单调性、对称