考前三个月浙江专版文理通用习题 高考知识 方法篇 专题3 函数与导数 第9练 Word版含答案.docx

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考前三个月浙江专版文理通用习题高考知识方法篇专题3函数与导数第9练Word版含答案

第9练　顾全局——函数零点与方程的根

[题型分析·高考展望]　函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档．其考查点有两个方面：

一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围．

体验高考

1．（2015·天津）已知函数f（x）＝

函数g（x）＝3－f（2－x），则函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　A

解析　当x>2时，g（x）＝x－1，f（x）＝（x－2）2；

当0≤x≤2时，g（x）＝3－x，f（x）＝2－x；

当x<0时，g（x）＝3－x2，f（x）＝2＋x.

由于函数y＝f（x）－g（x）的零点个数就是方程f（x）－g（x）＝0的根的个数．

当x>2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝

或x＝

（舍去）；

当0≤x≤2时，方程f（x）－g（x）＝0可化为2－x＝3－x，无解；

当x<0时，方程f（x）－g（x）＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝

或x＝

（舍去）．

所以函数y＝f（x）－g（x）的零点个数为2.

2．已知函数f（x）＝（

）x－cosx，则f（x）在[0，2π]上的零点个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　f（x）在[0，2π]上的零点个数就是函数y＝（

）x和y＝cosx的图象在[0，2π]上的交点个数，而函数y＝（

）x和y＝cosx的图象在[0，2π]上的交点有3个．

3．（2016·上海）设a∈R，b∈[0,2π]．若对任意实数x都有sin（3x－

）＝sin（ax＋b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　∵对于任意实数x都有sin（3x－

）＝sin（ax＋b），

则函数的周期相同，

若a＝3，此时sin（3x－

）＝sin（3x＋b），

则b＝－

＋2π＝

；

若a＝－3，则方程等价为sin（3x－

）＝sin（－3x＋b）

＝－sin（3x－b）＝sin（3x－b＋π），

则－

＝－b＋π，∴b＝

.

综上，满足条件的有序实数对（a，b）为

，

.

4．（2015·江苏）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝

则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________．

答案　4

解析　令h（x）＝f（x）＋g（x），

则h（x）＝

当1＜x＜2时，h′（x）＝－2x＋

＝

＜0，

故当1＜x＜2时h（x）单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h（x）|和y＝1的图象如图所示．

由图象可知|f（x）＋g（x）|＝1的实根个数为4.

高考必会题型

题型一　零点个数与零点区间问题

例1　

（1）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}

C．{2－

，1,3}D．{－2－

，1,3}

（2）（2015·北京）设函数f（x）＝

①若a＝1，则f（x）的最小值为________；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

（3）已知函数f（x）＝

则函数f（x）的零点为（　　）

A.

，0B．－2,0

C.

D．0

答案　

（1）D　

（2）①－1　②

∪[2，＋∞）

（3）D

解析　

（1）令x<0，则－x>0，

所以f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x.

因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以f（－x）＝－f（x），

所以当x<0时，f（x）＝－x2－3x.

当x≥0时，g（x）＝x2－4x＋3，

令g（x）＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3；

当x<0时，g（x）＝－x2－4x＋3，

令g（x）＝0，即x2＋4x－3＝0，

解得x＝－2＋

>0（舍去）或x＝－2－

.

所以函数g（x）有3个零点，其集合为{－2－

，1,3}．

（2）①当a＝1时，f（x）＝

当x<1时，f（x）＝2x－1∈（－1,1），

当x≥1时，f（x）＝4（x2－3x＋2）

＝4

≥－1，

∴f（x）min＝－1.

②由于f（x）恰有2个零点，分两种情况讨论：

当f（x）＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.

当a≥2时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，有2个零点；

当a≤0时，f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1时，无零点．

因此a≥2满足题意．

当f（x）＝2x－a，x<1有1个零点时，0

f（x）＝4（x－a）（x－2a），x≥1有1个零点，

此时a<1,2a≥1，因此

≤a<1.

综上知实数a的取值范围是

.

（3）当x≤1时，由f（x）＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x>1时，由f（x）＝1＋log2x＝0，解得x＝

，

又因为x>1，所以此时方程无解．

综上，函数f（x）的零点只有0.

点评　确定函数零点的常用方法

（1）当方程易求解时，用解方程判定法；

（2）数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．

变式训练1　[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f（x）＝x－[x]（x∈R），g（x）＝log4（x－1），则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数可转化为函数f（x）与g（x）图象的交点个数，

作出函数f（x）＝x－[x]＝

与函数g（x）＝log4（x－1）的大致图象如图，由图可知两函数图象的交点个数为2，即函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是2.

题型二　由函数零点求参数范围问题

例2　若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

解　方法一　（换元法）

设t＝2x（t＞0），则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，（*）

原方程有实根，即方程（*）有正根．

令f（t）＝t2＋at＋a＋1.

①若方程（*）有两个正实根t1，t2，

则

解得－1＜a≤2－2

；

②若方程（*）有一个正实根和一个负实根（负实根不合题意，舍去），则f（0）＝a＋1＜0，解得a＜－1；

③若方程（*）有一个正实根和一个零根，

则f（0）＝0且－

＞0，

解得a＝－1.

综上，a的取值范围是（－∞，2－2

]．

方法二　（分离变量法）

由方程，解得a＝－

，设t＝2x（t＞0），

则a＝－

＝－

＝2－

，其中t＋1＞1，

由基本不等式，得（t＋1）＋

≥2

，

当且仅当t＝

－1时取等号，故a≤2－2

.

点评　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在性定理构建不等式求解．

（2）分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解．

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．

变式训练2　已知函数f（x）＝

若关于x的方程f[f（x）]＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为________．

答案　（－1,0）∪（0，＋∞）

解析　依题意，得a≠0，令f（x）＝0，得lgx＝0，即x＝1.由f[f（x）]＝0，得f（x）＝1.当x＞0时，函数y＝lgx的图象与直线y＝1有且只有一个交点，则当x≤0时，函数y＝

的图象与直线y＝1没有交点．若a＞0，结论成立；若a＜0，则函数y＝

的图象与y轴交点的纵坐标－a＜1，得－1＜a＜0，则实数a的取值范围为（－1,0）∪（0，＋∞）．

高考题型精练

1．若偶函数f（x）满足f（x－1）＝f（x＋1），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（

）x在[0，

]上的根的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，

所以f（－x）＝x2，因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝x2.

又f（x－1）＝f（x＋1），

所以f（x＋2）＝f（（x＋1）＋1）＝f（（x＋1）－1）＝f（x），

故f（x）是以2为周期的周期函数．据此在同一坐标系中作出函数y＝f（x）与y＝

x在[0，

]上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，

故方程f（x）＝

x在[0，

]上有3个根，故选C.

2．函数f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为（　　）

A．4B．5C．6D．7

答案　B

解析　∵2sinπx－x＋1＝0，∴2sinπx＝x－1，图象如图所示，由图象看出y＝2sinπx与y＝x－1有5个交点，

∴f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.

3．已知函数f（x）＝

则使方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是（　　）

A．（1,2）B．（－∞，－2]

C．（－∞，1）∪（2，＋∞）D．（－∞，1]∪[2，＋∞）

答案　D

解析　当x≤0时，x＋f（x）＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；

当x＞0时，x＋f（x）＝m，即x＋

＝m，解得m≥2.

即实数m的取值范围是（－∞，1]∪[2，＋∞）．故选D.

4．已知函数f（x）＝

若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（0,3）

C．（0,2）D．（0,1）

答案　D

解析　画出函数f（x）的图象如图所示．

观察图象可知，若方程f（x）－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝a有三个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.

5．已知函数f（x）＝

当x∈[0,10]时，关于x的方程f（x）＝x－

的所有解的和为（　　）

A．55B．100

C．110D．120

答案　B

解析　x∈[0,1）时，f（x）＝（x－1）2＋2（x－1）＋1＝x2，

令f（x）＝x－

，得：

x2－x＋

＝0，

∴x1＋x2＝1；

x∈[1,2）时，f（x）＝（x－1）2＋1＝x2－2x＋2，

令f（x）＝x－

，得：

x2－3x＋

＝0，

∴x3＋x4＝3；

x∈[2,3）时，f（x）＝（x－2）2＋2＝x2－4x＋6，

令f（x）＝x－

，得：

x5＋x6＝5；

…，

x∈[n，n＋1）时，f（x）＝（x－n）2＋n，

令f（x）＝x－

，得：

x2n＋1＋x2n＋2＝2n＋1，

x∈[9,10]时，f（x）＝（x－9）2＋9，

令f（x）＝x－

，得：

x19＋x20＝19，

∴1＋3＋5＋…＋19＝100.

6．函数f（x）＝

若a，b，c，d各不相同，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是（　　）

A．（24,25）B．[16,25）

C．（1,25）D．（0,25]

答案　A

解析　函数f（x）的图象如图所示：

若a，b，c，d互不相同，且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），

不妨令a＜b＜c＜d，

则0＜a＜1,1＜b＜4，

则log2a＝－log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，

则ab＝1，同时c∈（4,5），d