绘制根轨迹图示例PPT文档格式.ppt

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实实轴轴上上某某线线段段右右侧侧的的开开环环零零、极极点点的的个个数数之之和和为为奇奇数数，则则该该线线段段是是实实轴轴上的根轨迹；

上的根轨迹；

1.1.44渐近线渐近线2.2.55在实轴上的分离点在实轴上的分离点1.1.66起始角和终止角起始角和终止角2.2.77与虚轴的交点与虚轴的交点3.3.将将代代入入闭闭环环特特征征方方程程，令令方方程程两两边边实部和虚部分别相等，求出实部和虚部分别相等，求出。

以以上上七七条条规规则则是是绘绘制制根根轨轨迹迹图图所所必必须须遵遵循循的的基基本规则。

此外，尚须注意以下几点规范画法。

本规则。

根根轨轨迹迹的的起起点点（开开环环极极点点）用用符符号号“”标标示；

根轨迹的终点示；

根轨迹的终点（开环零点开环零点）用符号用符号“o”o”标示。

标示。

根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益值值的的增增加加而而运运动动的的，要要用用箭箭头头标标示示根根轨轨迹迹运运动动的的方向方向。

要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的值值，如如起起点点（），终终点点（）；

根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点dd（）；

与与虚虚轴轴的的交交点点（）。

还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益，也也应应在在根根轨轨迹迹图图上上标标出出，以以便便于于进进行行系系统统的的分分析析与与综综合。

合。

例例4-7已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图试绘制该系统完整的根轨迹图。

解解:

（1）

（1）根根轨轨迹迹的的起起点点是是该该系系统统的的三三个个开开环环极极点点，即即P1=0,P2=-1,P3=-2,P1=0,P2=-1,P3=-2,由由于于没没有有开开环环零零点点（m=0m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。

三条根轨迹的终点均在无穷远处。

（2）

（2）该系统的特征方程为该系统的特征方程为这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在ss平面平面上。

上。

三条根轨迹连续且对称于实轴。

（3）（3）由由规规则则三三知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为实实轴轴上上P1P1到到P2P2的线段和由的线段和由P3P3至实轴上负无穷远线段。

至实轴上负无穷远线段。

当当k=0k=0时时当当k=1k=1时时当当k=2k=2时时由由规规则则四四知知，可可求求出出根根轨轨迹迹三三条条渐渐近近线线的的交交点点位位置置和和它们与实轴正方向的交角。

它们与实轴正方向的交角。

（5）（5）由规则由规则55知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程解的合理值，解的合理值，解得解得不在实轴的根轨迹上，舍去；

实际的分离点应不在实轴的根轨迹上，舍去；

实际的分离点应为为。

（6）（6）无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。

无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。

解虚部方程得解虚部方程得其其中中是是开开环环极极点点对对应应的的坐坐标标值值，它它是是根根轨轨迹迹的的起起点点之之一一。

合合理理的的交交点点应应为为，绘绘制出该系统的根轨迹图如图制出该系统的根轨迹图如图4-114-11所示。

所示。

（7）由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点,用用代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：

代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：

图4-11例4-7系统根轨迹图swj（）01=*KP（）03=P（）02=P-1-201ds+60-60）6（2=cKj）6（2=-cKj*K*K*K*K*K*解解

（1）

（1）由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点和一对开环共轭复数极点和一对开环共轭复数极点,根轨迹的根轨迹的起点为起点为和和，其终点为，其终点为和无和无穷远点穷远点。

（2）

（2）是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在SS平面上有两条连续且对称于实平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。

轴的根轨迹。

（3）（3）由由规规则则三三知知，实实轴轴上上由由-2-2至至-的的线线段段为为实实轴轴上上的的根根轨迹。

轨迹。

由由规规则则五五，可可求求出出根根轨轨迹迹与与实实轴轴的的交交点点（分分离离点点）。

分离点方程是分离点方程是例例4-84-8已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。

试绘制该系统的根轨迹图。

即即解方程可得解方程可得不不在在实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹上上，舍舍去去，实实际际的的分离点为分离点为。

由由规规则则六六，可可求求出出开开环环复复数数极极点点（根根轨轨迹迹的的起起点）的起始角。

点）的起始角。

证明证明已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为，令，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，为根轨迹的任一点，由相角条件可得由相角条件可得将将ss、和和代入得代入得即即应用三角公式应用三角公式为为准准确确地地画画出出SS平平面面上上根根轨轨迹迹的的图图形形，运运用用相相角角条条件件可可证证明明本本系系统统在在SS平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个半半径径为为，圆心位于点，圆心位于点的圆弧。

的圆弧。

将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有方程表示在方程表示在SS平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点、半径为、半径为的圆弧。

由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。

由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。

图4-12例4-8系统的根轨迹图wjss0-1-2-3）0（1=KP1pq）0（2=KP2pq414.31=d1d-4*K1-1）（1=KZ*由由本本例例不不难难发发现现，由由两两个个开开环环极极点点（实实极极点点或或复复数数极极点点）和和一一个个开开环环实实零零点点组组成成的的二二阶阶系系统统，只只要要实实零零点点没没有有位位于于两两个个实实极极点点之之间间，当当开开环环根根轨轨迹迹增增益益由由零零变变到到无无穷穷大大时时，复复平平面面上上的的闭闭环环根根轨轨迹迹，是是以以实实零零点点为为圆圆心心，以以实实零零点点到到分分离离点点的的距距离离为为半半径径的的一一个个圆圆（当当开开环环极极点点为为两两个个实实极极点点时时）或或圆圆的的一一部部分分（当当开开环环极极点点为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点时时）。

这这个个结结论论在在数数学学上上的的严严格格证证明可参照本例进行。

明可参照本例进行。

将上例与图例比较将上例与图例比较例例4-9已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图试绘制该系统的根轨迹图。

解解由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的44个开个开环极点环极点,即即，。

由于系。

由于系统无有限开环零点（统无有限开环零点（m=0m=0），根轨迹的终点均在），根轨迹的终点均在SS平面的无平面的无穷远处（无穷零点）。

穷远处（无穷零点）。

由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为由规则二知，该系统的根轨迹共有由规则二知，该系统的根轨迹共有44条分支（条分支（n=4n=4），），44条根条根轨迹连续且对称于实轴。

轨迹连续且对称于实轴。

由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由00到到-2-2的线段。

的线段。

渐近线与实轴正方向的交角为渐近线与实轴正方向的交角为当当k=0k=0时，时，当当k=1k=1时，时，当当k=2k=2时，时，当当k=3k=3时，时，（4）（4）由由规规则则四四可可求求出出44条条根根轨轨迹迹渐渐近近线线与与实实轴轴的的交交点点为为由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。

由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。

分离点方程是分离点方程是即即解方程得到解方程得到由规则六可求出复数极点由规则六可求出复数极点和和的起始角的起始角该该系系统统为为44阶阶系系统统，用用解解析析法法求求根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点和和对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值比比较较困困难。

下面采用劳斯判据求出难。

下面采用劳斯判据求出和和的值。

的值。

根据系统的特征方程列出劳斯表如下：

16440500令劳斯表中令劳斯表中行的首项系数为零，求得行的首项系数为零，求得，由由行系数写出辅助方程为行系数写出辅助方程为令令，并并将将代代入入辅辅助助方方程程可可求求出出。

系统的根轨迹如图。

系统的根轨迹如图4-134-13所示。

0图4-13例4-9系统的根轨迹图观察观察（3）和和（4），满足，满足（3）的的s值必满足值必满足（4），所以，所以分离点也可以由（分离点也可以由（4）得到。

）得到。

设开环传函设开环传函则特征方程则特征方程求导求导两式相除两式相除由特征方程得由特征方程得求导求导