实分析第三章复习PPT推荐.ppt

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数。

证明：

设证明：

设ff是零测度是零测度EE上的函数上的函数,则对任意则对任意aRaR有有因为零测度集的因为零测度集的子集子集仍为零测度集仍为零测度集（可测可测）,）,由定义所以函数可测由定义所以函数可测.例例2简单函数是可测函数简单函数是可测函数证：

任取xEfa,则f（x）a,由连续性局部保号性知（）xf（x0）+f（x0）f（x0）-a例例3.可测集可测集E上的连续函数上的连续函数f（x）一定一定为可测函数为可测函数可测函数关于子集、并集的性质可测函数关于子集、并集的性质l即即:

若若f（x）是是E上的可测函数上的可测函数,可测，则可测，则f（x）限限制在制在E1上也是可测函数；

上也是可测函数；

3.可测函数的性质证明证明:

注意到注意到l若若,f（x）限制在限制在En上是上是可测函数，则可测函数，则f（x）在在E上也是可测函数。

上也是可测函数。

证明证明:

注意到注意到设设SS是某个命题或某个性质是某个命题或某个性质,若若SS在集在集EE上除了某个零测度集上除了某个零测度集外处处成立外处处成立,则称则称SS在在EE上几乎处上几乎处处成立处成立.记为记为S,a.eS,a.e.于于EE或或S,a.eS,a.e.（almosteverywherealmosteverywhere）定义定义1.3（几乎处处概念几乎处处概念）若若m（Em（Efgfg）=0,）=0,则称则称f（x）=g（x）f（x）=g（x）在在EE上几乎处处相等上几乎处处相等,记记f（xf（x）=g（x）a.e.）=g（x）a.e.于于EE。

例如例如:

几乎处处相等几乎处处相等例如例如:

Dirichlet函数几乎处处等于函数几乎处处等于0例例3设设f（x）=g（x）a.e.于于E，f（x）在在E上上可测，则可测，则g（x）在在E上也可测上也可测例题说明例题说明,在一零测度集上改变函数的取在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性值不影响函数的可测性例如例如:

几乎处处收敛几乎处处收敛设设是是EE上上的的函函数数列列，是是EE上上的函数，若存在的函数，若存在，使，使且对任意且对任意，有，有则称在上几乎处处收敛到则称在上几乎处处收敛到ff，记作，记作若若fn（x）是可测集是可测集E上的可测函上的可测函数列数列,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函上可测函数。

定理1.1.为方便我们把一般函数分解成两为方便我们把一般函数分解成两个非负函数来考察个非负函数来考察.一般函数可分解成正部和负部如一般函数可分解成正部和负部如下：

下：

推论推论1设设f（x）是可测集是可测集E上的可测函上的可测函数列数列,则下列函数在则下列函数在E上均为可测函数。

上均为可测函数。

推论推论2若若fn（x）是可测集是可测集E上的可上的可测函数列测函数列,则下列函数仍为则下列函数仍为E上可测函上可测函数。

证明证明两次应用定理两次应用定理1.1即可即可.推论推论3：

可测函数列的极限函数仍为可：

可测函数列的极限函数仍为可测函数测函数.（注注:

连续函数列的极限函数不一定为连续函数列的极限函数不一定为连续函数连续函数）.由于函数的可测性不受一个零测度集由于函数的可测性不受一个零测度集的值的影响的值的影响,于是我们有下面定理于是我们有下面定理1,2.定理定理1.21.2如果如果是是可测集可测集EE上的可测函数序列，上的可测函数序列，且几乎处处收敛到且几乎处处收敛到，即，即则则在在EE上可测。

上可测。

可测函数与简单函数的关系设设f（x）是可测集是可测集E上的非负可测函数上的非负可测函数,则则存在非负递增的简单函数列存在非负递增的简单函数列使极限使极限在在E上处处成立上处处成立.定理3.1设设f（xf（x）是可测集是可测集EE上的可测函数上的可测函数,则则f（x）f（x）总可表示成一列简单函数总可表示成一列简单函数的极限的极限而且还可办到而且还可办到注注:

由于一般函数由于一般函数ff可表示成它的正部可表示成它的正部与负部之差与负部之差,对对ff的正部与负部分别应的正部与负部分别应用定理用定理1.31.3即得即得:

定理定理（可测函数的充分必要条件可测函数的充分必要条件）:

）:

函数函数f（xf（x）是可测集是可测集EE上的可测函上的可测函数的充分必要条件是数的充分必要条件是f（xf（x）总可表示总可表示为一列简单函数的极限为一列简单函数的极限.引理引理1.11.1函数函数（x）,（x）,（x）（x）是可测集是可测集EE上上的简单函数的简单函数,则它们的和、差、积、则它们的和、差、积、商商（分母几乎处处不为零分母几乎处处不为零）仍然是简仍然是简单函数单函数.定理定理1.41.4可测集可测集EE上的两个可测函数的和、上的两个可测函数的和、差、积、商差、积、商（假定运算几乎处处有定假定运算几乎处处有定义义）仍然是仍然是EE上可测函数上可测函数.第二节可测函数列的收敛性

（1）.它的上极限集定义为它的上极限集定义为:

定义定义2.1（2.1（上、下极限集上、下极限集）

（2）下极限集定义为下极限集定义为:

（3）如果集列如果集列的上极限集与下极的上极限集与下极限集相等，即限集相等，即则称集列则称集列收敛，称其共同的极限收敛，称其共同的极限为集列为集列的极限集，记为：

的极限集，记为：

定义定义2.1：

极限集：

极限集容易知道上、下极限集有关系：

定理定理：

单调集列是收敛的：

单调集列是收敛的.单调单调增增集列集列极限极限函数逼近是分析中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数.点点收敛点点收敛:

函数列的几种收敛定义记作记作一致收敛一致收敛:

记作记作:

去掉某个零测度集，在留下的集去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛合上处处收敛即几乎处处收敛几乎处处收敛:

例例1：

试考察函数列：

试考察函数列fn（x）=xn,n=1,2,在在0,1上处处收敛上处处收敛（自然几乎收自然几乎收敛敛）.但不一致收敛但不一致收敛（因为极限函数不连因为极限函数不连续续）.但去掉一小测度集合但去掉一小测度集合（1-,1,在留在留下的集合上一致收敛下的集合上一致收敛.1-fn（x）=xn定义定义2.2设设E为可测集为可测集,mE0,有有则称则称fn在在E上依测度收敛于上依测度收敛于f,记作记作依测度收敛依测度收敛不依测度收敛不依测度收敛

（1）处处收敛但不依测度收敛n在在R+上处处收敛于上处处收敛于f（x）=1,几种收敛的区别几种收敛的区别例例2说明：

当说明：

当n越大，取越大，取1的点越多，故的点越多，故fn（x）在在R+上处处收敛于上处处收敛于1所以所以fn（x）在在R+上不依测度收敛于上不依测度收敛于1.又例又例.上述上述fn处处收敛于处处收敛于1但不近一致收敛于但不近一致收敛于f（x）=1n例例33（依测度收敛但处处不收敛）（依测度收敛但处处不收敛）取基本集取基本集E=0,1）,n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,01f1f601/43/4101/43/4101/43/4101/43/41f7f5f401f301f201/81/41f8fn如下图如下图:

因为因为但是,对任何x0,1）,fn（x）有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn（x）在（0,1上处处不收敛；

例：

函数列fn（x）=xn在（0,1）上处处收敛到f（x）=0,但不一致收敛不一致收敛，但去掉一小测度集合（1-,1）,在留下的集合上一致收敛一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-fn（x）=xn设设E为可测集为可测集,mE+，fn，f是是E上上几乎处处有限的可测函数，几乎处处有限的可测函数，即：

可测函数列的即：

可测函数列的（收敛收敛）几乎几乎处处收敛处处收敛“基本上基本上”是一致收是一致收敛敛.定理2.1（叶果洛夫定理）引理：

设引理：

设mE+，fn，f在在E上几乎处处有限且可测，上几乎处处有限且可测，注注:

a.叶果洛夫定理中条件叶果洛夫定理中条件mE+不可少不可少n则fn在R+上处处收敛于f（x）=1,fn不几乎一致收敛于f于R+例例:

设设定理2.2（叶果洛夫定理的逆定理）Lebesgue定理：

设mE+，fn，f在E上几乎处处有限且可测，叶果洛夫定理叶果洛夫定理mE+Lebesgue定理mE+叶果洛夫叶果洛夫逆定理逆定理子列子列RieszRiesz定理定理子列RieszRiesz定理证明的说明定理证明的说明定理定理2.4令令mE+，则则

（1）若又有若又有,则则f（x）=h（x）a.e.于于E。

依测度收敛的性质（唯一性和四则运算）第三节可测函数的构造可测函数可测函数问：

可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？

可测集E上的连续函数连续函数定为可测函数设设f（x）为为E上几乎处处有限的可测函数，上几乎处处有限的可测函数，则则使得使得m（E-F）且且f（x）在在F上连续。

上连续。

（去掉一小测度集，在留下的集合上成（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：

可测函数为连续函数）即：

可测函数“基本上基本上”是连续函数是连续函数定理3.1（鲁津定理）

（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列

（2）任一可测函数差不多就是连续函数实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）定理3.2（鲁津定理推论）若f（x）为上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g（x）=f（x）且m（E-F）0，存在闭集，使且f（x）在上连续，则f（x）是E上的可测函数鲁津定理的逆定理一、可测函数的概念及其运算性质一、可测函数的概念及其运算性质.可测函数关于加、减、乘、除四可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算是封闭的。

则运算和极限运算是封闭的。

可测函数上、下确界函数和上、可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的。

下极限函数还是可测的。

本章内容要点二、可测函数列的收敛性、几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的收敛形式。

叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系。

通过它，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。

勒贝格定理告诉我们：

在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。

黎斯定理指出：

依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。

三、可测函数的构造定理。

连续函三、可测函数的构造定理。

连续函数，单调函数等都是可测函数。

反数，单调函数等都是可测函数。

反之不然之不然（如迪里克雷函数如迪里克雷函数）。

鲁金定理指出了可测函数与连鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过它常常能续函数之间的关系，通过它常常能把可测函数的问题又转化为关于连把可测函数的问题又转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很续函数的问