吕跃进-指数标度与1-9标度比较研究Word文件下载.doc
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强烈重要
极端重要
1-9标度值
1
3
5
7
9
指数标度值
＝1.316时
1
1.732
3
5.194
9
2.指数标度与1-9标度互不相容
2.1在层次单排序中，指数标度与1-9标度可能出现逆序
例１．考察四个元素相对于总目标重要性程度，得到如下的判断：
A1比Ａ2在强烈重要与极端重要之间，Ａ1比Ａ3强烈重要，Ａ１比Ａ4在同等重要与稍微重要之间，Ａ2比A3稍微重要，Ａ2比A4强烈不重要，A3比A4明显不重要。
那么，由1-9标度和指数标度（＝1.316）构造的判断矩阵分别为Ａ与Ｂ如下：
，
___________________________
*资助项目：
广西壮族自治区教育厅科研基金（编号桂教财1996[403]）
**作者简介：
吕跃进（1958-）男，广东龙川人，广西大学数学与信息科学系副教授，天津大学访问学者，主要研究方向：
运筹学，数学模型，预测与决策等。
Email:
luyj@
由Ａ得到的排序向量为WA=（0.5098,0.0773,0.0513,0.3617）,排序结果为A1>
A4>
A2>
A3。
（最大特征值＝4.3353）。
而由Ｂ得到的排序向量为WB=（0.4499,0.0768,0.0806,0.3927）,排序结果为A1>
A3>
A2。
（此时最大特征值＝4.2460）
2.2在层次总排序中，指数标度与1-9标度可能出现逆序
例２．假设对于总目标Ｏ而言，准则R1比R2稍微重要；
而相对于准则R1，方案A1比A2稍微不重要；
又相对于准则R2而言，方案A1比A2极端重要。
若用1-9标度，则各层的判断矩阵及层次单排序向量如表2-1至表2-3：
表2-11-9标度下O对准则的判断表2-21-9标度下R1对方案的判断表2-31-9标度下R2对方案的判断
O-R
R1R2
权重
R1
13
0.75
R2
1/31
0.25
R1-A
A1A2
A1
A2
1/31
R2-A
11/9
0.1
91
0.9
由此可得在1-9标度下，方案A1关于总目标的排序权重为0.75*0.75+0.1*0.25=0.5875,方案A2关于总目标的排序权重为0.25*0.75+0.9*0.25=0.4125,排序结果是A1>
若用指数标度，则方案层关于两个准则的判断矩阵及层次单排序向量如表3-1至表3-3：
表3-1指数标度下O对准则的判断表3-2指数标度下R1对方案的判断表3-3指数标度下R2对方案的判断
11.732
0.6340
0.57741
0.3660
11.732
0.57741
由此可得在指数标度下，方案A1关于总目标的排序权重为0.634*0.634+0.1*0.366=0.4386,方案A2关于总目标的排序权重为0.366*0.634+0.9*0..366=0.5614,排序结果是A2>
A1。
例2表明，尽管在层次单排序时没有出现逆序，但在总排序时却出现了逆序。
2.3指数标度与1-9标度的一致性相互矛盾
从表1可知，1-9标度与指数标度的关系是：
（（１）
[定理1]设A=，B=分别是1-9标度和指数标度下的判断矩阵，n3,且A中至少有三行元素两两不全等，则当A一致时，B必不一致；
反之，当B一致时，A必不一致。
证明：
如果A,B均为一致矩阵，则对任意1i,j,kn应有，及bijbjk=bik
由两个标度的关系
（1）可知b=a,所以又有,故得
（2）
而方程组的解为x=1，y=c或x=c,y=1。
因此对任意1i,j,kn均有
或。
当时，由k的任意性知第j行与第i行对应元素相等。
当时,对任意1in，由A的一致性,所以，即第j行与第k行对应元素相等。
由i,j,k的任意性可知矩阵A中的任意三行元素中必有两行元素对应相等，这与题设相矛盾。
证毕。
定理1说明，1-9标度与指数标度关于一致性是不相容的。
3指数标度的效果优于1-9标度
3.1指数标度符合人们心理感觉判断，而1-9标度与人们心理感觉判断差距太大
就两个因素比较而言，应用指数标度与1-9标度所作出的各级重要性程度所对应的排序权重的百分比如表４：
表4各级重要性程度的排序权重
Ａ比Ｂ重要程度
同等重要
稍微重要
明显重要
强烈重要
极端重要
Ａ与Ｂ的权重比
（指数标度）
0.50:
0.50
0.63:
0.37
0.75:
0.25
0.84:
0.16
0.90:
0.10
（1-9标度）
0.83:
0.17
0.87:
0.13
Ａ的权重应落在的范围（调查结果）
0.46~0.55
0.56~0.65
0.66~0.79
0.80~0.89
0.90~1
从表4可知，当Ａ比Ｂ稍微重要时，1-9标度给出的结果是Ａ与Ｂ的权重比为0.75：
0.25，这与人们的心理预期相差太远。
又当随着重要程度的增加，1-9标度给出的权重之差迅速缩小，且明显重要与强烈重要的差距又很小，这也与人们的心理感觉不符。
相比之下，用指数标度给出的权重则合理的多，也符合我们所作的心理感觉判断的调查，事实上指数标度就是根据心理学上的韦伯定律而设计的。
3.2指数标度下判断矩阵的一致性符合人们思维判断一致性，而1-9标度下判断矩阵的一致性与与人们思维判断一致性不符
首先考察思维一致的判断而对应的判断矩阵是否为一致矩阵。
人的思维判断具有如下形式的基本传递性：
若因素A比因素B重要，因素B又比因素C重要，则因素A比因素C重要。
一般地，我们将判断传递性的规律归纳为表6所示，表中为方便起见，分别用1，3，5，7，9代表同等、稍微、明显、强烈、极端重要的五个等级（不是标度值），而用5－7表示重要性程度在明显与强烈之间等等。
由于指数标度与1-9标度均是点判断标度，我们取它们的中值。
表5 思维量判断传递性的规律
A：
B：
CC
B
1
3
5
7
9
4-5
5-7
7-9
>
=9
5-7
6-8
9
>
=9
将所有思维一致的判断所对应的判断矩阵逐一加以检查，我们发现用指数标度所构造的判断矩阵均为一致矩阵，而用1-9标度构造的判断矩阵大都不是一致矩阵。
例如，从思维上来说，以下的判断是一致的：
因素A比B稍微重要，B比C稍微重要，则A要比C明显重要。
这个判断所对应的1-9标度判断矩阵和指数标度判断矩阵分别为C和D：
，
易知C不是一致的，而D是一致的。
其次，考察两个标度下的判断矩阵为一致时，其对应的思维判断是否符合逻辑。
对于指数标度，可以证明（因篇幅所限，我们将另行文）：
其三阶一致判断矩阵只有如下28类：
{（,,）∣0<
k<
s8},这里由于一致矩阵由其第一行元素完全确定，我们用判断矩阵的第一行元素代表该判断矩阵，如可用表示一致判断矩阵D。
然后对这２８个三阶一致判断矩阵逐一检验，它们的确满足表5所示的判断传递性的规律。
而对于1-9标度，其一致判断矩阵所对应的思维判断则常常是不合逻辑的。
例如，判断矩阵
是一致的，但其所对应的思维判断是：
如果因素A比B稍微重要，B比C稍微重要，那么A比C极端重要！
实际的判断至多为A比C明显重要，两者重要性程度相差太大。
可见1-9标度下一致矩阵并不代表一致性的思维判断。
3.3指数标度符合客观排序，1-9标度常与客观排序相反
例3[4]．在例2中，假设是这样的一个实际问题：
总目标O是合理选购某种设备，准则是质量R1和价格R2，通常认为质量R1比价格R2稍微重要；
现有两款设备可供选择，一是国产的设备A1，一是进口设备A2，国产的设备其质量比进口的稍差，而其价格仅为进口的九分之一。
问应选购哪一款设备？
对于这个实际问题，专家们根据经验可以很快就作出决策：
购买国产设备。
而如果用层次分析法来考虑，当用1-9标度时，如例2已经计算出的结果，应选购进口设备，这与实际的客观排序相反。
但当用指数标度时，结论是应选购国产设备，与实际的客观排序一致。
4指数标度具有良好的数学结构，1-9标度的数学结构则很差
4.1标度系统有界封闭性
[定义1]一个标度系统的取值集合称为该标度系统的值域，记为D。
如果D满足：
D中元素非负；
1D；
且由aD,能推出1/aD,则称该标度系统是正互反型的。
[定义2]称正互反型的标度系统关于运算是有界封闭的，如果对任意a,bD,若mabM，则abD，其中m，M分别D中的最小值和最大值。
标度系统的有界封闭性
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