吕跃进-指数标度与1-9标度比较研究Word文件下载.doc

1、 强烈重要 极端重要1-9标度值13579指数标度值1.316时 1 1.732 3 5.194 92. 指数标度与1-9标度互不相容2.1 在层次单排序中，指数标度与1-9标度可能出现逆序例考察四个元素相对于总目标重要性程度，得到如下的判断：A1比2在强烈重要与极端重要之间，1比3强烈重要，比4在同等重要与稍微重要之间，2比A3稍微重要，2比A4强烈不重要，A3比A4明显不重要。那么，由1-9标度和指数标度（1.316）构造的判断矩阵分别为与如下： ， _* 资助项目：广西壮族自治区教育厅科研基金（编号 桂教财1996403）* 作者简介： 吕跃进（1958-）男，广东龙川人，广西大学数学与

2、信息科学系副教授，天津大学访问学者，主要研究方向：运筹学，数学模型，预测与决策等。Email: luyj 由得到的排序向量为WA=（0.5098, 0.0773, 0.0513, 0.3617） , 排序结果为A1A4A2A3。（最大特征值4.3353）。而由得到的排序向量为WB=（0.4499, 0.0768, 0.0806, 0.3927）, 排序结果为A1A3A2。（此时最大特征值4.2460）2.2 在层次总排序中，指数标度与1-9标度可能出现逆序例假设对于总目标而言，准则R1比R2稍微重要；而相对于准则R1，方案A1比A2稍微不重要；又相对于准则R2而言，方案A1比A2极端重要。若用

3、1-9标度，则各层的判断矩阵及层次单排序向量如表2-1至表2-3：表2-1 1-9标度下O对准则的判断 表2-2 1-9标度下R1对方案的判断 表2-3 1-9标度下R2对方案的判断O-RR1 R2权重 R11 30.75 R21/3 10.25R1-AA1 A2 A1 A21/3 1R2-A1 1/90.19 10.9 由此可得在1-9标度下，方案A1关于总目标的排序权重为0.75*0.75+0.1*0.25=0.5875, 方案A2关于总目标的排序权重为0.25*0.75+0.9*0.25=0.4125, 排序结果是A1若用指数标度，则方案层关于两个准则的判断矩阵及层次单排序向量如表3-1

4、至表3-3：表3-1 指数标度下O对准则的判断 表3-2 指数标度下R1对方案的判断 表3-3 指数标度下R2对方案的判断1 1.7320.63400.5774 10.36601 1.7320.5774 1由此可得在指数标度下，方案A1关于总目标的排序权重为0.634*0.634+0.1*0.366=0.4386, 方案A2关于总目标的排序权重为0.366*0.634+0.9*0.366=0.5614, 排序结果是A2A1。例2表明，尽管在层次单排序时没有出现逆序，但在总排序时却出现了逆序。2.3 指数标度与1-9标度的一致性相互矛盾从表1可知，1-9标度与指数标度的关系是： （ （）定理1设

5、A=，B=分别是1-9标度和指数标度下的判断矩阵，n3,且A中至少有三行元素两两不全等，则当A一致时，B必不一致；反之，当B一致时，A必不一致。证明：如果A,B均为一致矩阵，则对任意1i,j,kn应有，及bijbjk=bik由两个标度的关系（1）可知b=a,所以又有,故得 （2）而方程组 的解为x=1，y=c或x=c, y=1。因此对任意1i,j,kn均有 或 。当时，由k的任意性知第j行与第i行对应元素相等。当时,对任意1in，由A的一致性,所以，即第j行与第k行对应元素相等。由i,j,k的任意性可知矩阵A中的任意三行元素中必有两行元素对应相等，这与题设相矛盾。证毕。定理1说明，1-9标度与

6、指数标度关于一致性是不相容的。3 指数标度的效果优于1-9标度3.1 指数标度符合人们心理感觉判断，而1-9标度与人们心理感觉判断差距太大就两个因素比较而言，应用指数标度与1-9标度所作出的各级重要性程度所对应的排序权重的百分比如表：表4 各级重要性程度的排序权重比重要程度同等重要稍微重要明显重要强烈重要极端重要与的权重比（指数标度）0.50: 0.500.63: 0.370.75: 0.250.84: 0.160.90: 0.10（1-9标度）0.83: 0.170.87: 0.13的权重应落在的范围（调查结果）0.46 0.55 0.56 0.65 0.66 0.790. 80 0.890

7、.90 1从表4可知，当比稍微重要时，1-9标度给出的结果是与的权重比为0.75：0.25，这与人们的心理预期相差太远。又当随着重要程度的增加，1-9标度给出的权重之差迅速缩小，且明显重要与强烈重要的差距又很小，这也与人们的心理感觉不符。相比之下，用指数标度给出的权重则合理的多，也符合我们所作的心理感觉判断的调查，事实上指数标度就是根据心理学上的韦伯定律而设计的。3.2 指数标度下判断矩阵的一致性符合人们思维判断一致性，而1-9标度下判断矩阵的一致性与与人们思维判断一致性不符首先考察思维一致的判断而对应的判断矩阵是否为一致矩阵。人的思维判断具有如下形式的基本传递性：若因素A比因素B重要，因素B

8、又比因素C重要，则因素A比因素C重要。一般地，我们将判断传递性的规律归纳为表6所示，表中为方便起见，分别用1，3，5，7，9代表同等、稍微、明显、强烈、极端重要的五个等级（不是标度值），而用57表示重要性程度在明显与强烈之间等等。由于指数标度与1-9标度均是点判断标度，我们取它们的中值。表5思维量判断传递性的规律A： B： C CB 1 3 5 7 9 4-5 5-7 7-9 =9 5-7 6-8 9 =9 将所有思维一致的判断所对应的判断矩阵逐一加以检查，我们发现用指数标度所构造的判断矩阵均为一致矩阵，而用1-9标度构造的判断矩阵大都不是一致矩阵。例如，从思维上来说，以下的判断是一致的：因素

9、 A比B稍微重要，B比C稍微重要，则A要比C明显重要。这个判断所对应的1-9标度判断矩阵和指数标度判断矩阵分别为C和D： ， 易知C不是一致的，而D是一致的。其次，考察两个标度下的判断矩阵为一致时，其对应的思维判断是否符合逻辑。对于指数标度，可以证明（因篇幅所限，我们将另行文）：其三阶一致判断矩阵只有如下28类：（ , ,）0k s 8, 这里由于一致矩阵由其第一行元素完全确定，我们用判断矩阵的第一行元素代表该判断矩阵，如可用 表示一致判断矩阵D。然后对这个三阶一致判断矩阵逐一检验，它们的确满足表5所示的判断传递性的规律。而对于1-9标度，其一致判断矩阵所对应的思维判断则常常是不合逻辑的。例如

10、，判断矩阵 是一致的，但其所对应的思维判断是：如果因素A比B稍微重要，B比C稍微重要，那么A比C极端重要！实际的判断至多为A比C明显重要，两者重要性程度相差太大。可见1-9标度下一致矩阵并不代表一致性的思维判断。3.3 指数标度符合客观排序，1-9标度常与客观排序相反例34在例2中，假设是这样的一个实际问题：总目标O是合理选购某种设备，准则是质量R1和价格R2，通常认为质量R1比价格R2稍微重要；现有两款设备可供选择，一是国产的设备A1，一是进口设备A2，国产的设备其质量比进口的稍差，而其价格仅为进口的九分之一。问应选购哪一款设备？对于这个实际问题，专家们根据经验可以很快就作出决策：购买国产设备。而如果用层次分析法来考虑，当用1-9标度时，如例2已经计算出的结果，应选购进口设备，这与实际的客观排序相反。但当用指数标度时，结论是应选购国产设备，与实际的客观排序一致。4 指数标度具有良好的数学结构，1-9标度的数学结构则很差4.1标度系统有界封闭性定义1 一个标度系统的取值集合称为该标度系统的值域，记为D。如果D 满足：D中元素非负；1 D；且由 a D, 能推出1/a D ,则称该标度系统是正互反型的。定义 2称正互反型的标度系统关于运算是有界封闭的，如果对任意a,b D,若mabM ，则 ab D， 其中m，M分别D中的最小值和最大值。标度系统的有界封闭性