解析北京市人大附中届高三数学月考试题.docx
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解析北京市人大附中届高三数学月考试题
人大附中2020-2021学年度高三10月统一练习
一､选择题
1.已知集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
直接计算集合A，B的交集即可.
【详解】解：
因为合
，
，
故选：
C.
【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.
2.已知命题
，
，则
为（）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】C
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，可得答案，注意“一改量词，二改结论”.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“
，
”的否定是“
，
”.
故选：
C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
3.已知点
是角
终边上一点，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
求出点
，进而由三角函数的定义，可求出
.
【详解】由
，可得点
，
根据三角函数的定义，可得
.
故选：
A.
【点睛】本题考查三角函数定义的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
4.已知向量
，
，若
，则实数
（）
A.8B.
C.2D.
【答案】D
【分析】
求出
和
，再结合
，可建立等式关系，即可求出
的值.
【详解】由
，
，可得
，
，
因为
，所以
，解得
.
故选：
D.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，考查学生的计算能力，属于基础题.
5.以下选项中，满足
的是（）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】A
【分析】
将选项逐一代入计算即可.
【详解】解：
A.
，正确；
B.
，错误；
C.
，错误；
D.
，错误.
故选：
A.
【点睛】本题考查对数的运算，是基础题.
6.下列函数中，既是奇函数又在区间
内是增函数的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
利用定义判断各选项中函数的奇偶性，结合导数可判断出各选项中函数的单调性，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数
的定义域为
，
，则函数
为奇函数，
当
时，
，函数
在区间
内是减函数，A选项不合乎题意；
对于B选项，函数
为奇函数，且当
时，函数
为增函数，B选项合乎题意；
对于C选项，对于函数
，
，即
，解得
，
函数
的定义域为
，
，该函数为奇函数，
，则函数
在区间
内是减函数，不合乎题意；
对于D选项，函数
的定义域为
，且
，则函数
为偶函数，不合乎题意.
故选：
B.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查了导数的应用，属于中等题.
7.已知方程
在区间
上有解，则实数
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
化简方程，分离参数，利用数形结合即可求解
【详解】方程
在区间
上有解，
当
时，方程无解；
当
时，则有
，令
，
，即
在
时为减函数，
由于
，所以，当
时，
，所以，只要
，方程
在区间
上有解
故选：
A
【点睛】本题考查函数零点的问题，主要考查学生的数形结合的能力，属于基础题
8.已知
是非零向量，
为实数，则“
”是
的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
利用充分必要条件的定义，判断各选项即可
【详解】对于
，满足充分条件；
对于
，不满足必要条件
故“
”是
的必要不充分条件
故选：
B
【点睛】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题
9.已知
，若函数
有最小值，则实数
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
分
、
、
、
四种情况讨论，分析函数
在区间
和
上的单调性，结合题可得出关于实数
的不等式组，进而可求得实数
的取值范围.
【详解】①当
时，二次函数
的对称轴为直线
，
此时函数
在区间
上单调递减，此时
，
函数
在区间
上单调递减，此时，
，
若使得函数
有最小值，则
，解得
，不合乎题意；
②当
时，二次函数
的对称轴为直线
，
此时函数
在区间
上的最小值为
，
函数
在区间
上单调递减，此时，
，
若使得函数
有最小值，则
，解得
，不合乎题意；
③当
时，函数
，
则函数
在区间
上的最小值为
，
当
时，
.
此时，函数
有最小值，合乎题意；
④当
时，二次函数
的对称轴为直线
，
此时函数
在区间
上的最小值为
，
函数
在区间
上单调递增，此时
，
若使得函数
有最小值，则
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：
B.
【点睛】本题考查利用分段函数存在最小值求参数的取值范围，分析每支函数的单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
10.定义在
上的函数
满足：
当
时，
；当
时，
.若方程
在区间
上恰有3个不同的实根，则
的所有可能取值集合是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
根据条件，可求出
在
上的解+析式，由题意可知直线
与
的图象在
上恰有3个交点，结合图象，可求出答案.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
.
由方程
在区间
上恰有3个不同的实根，可知直线
与
的图象在
上恰有3个交点.
作出函数
在
上的图象，如下图所示，
①函数
在
的最高点为
，过
作斜率为1的直线
，该直线与
轴交于点
，且
，此时直线
与
只有1个交点；
②将直线
向下平移，直至与
第一次相切，此时直线记为
，设切点为
，易知
，求导得
，则
，可得
，即切点为
，
此时
为
，由
，可知
与
在
上有2个交点，在
上无交点，即
与
在
上有3个交点，符合题意；
③将直线
向下平移，直至与
第二次相切前，在此过程中，直线始终与
在
上有3个交点，
当直线第二次与
相切，记直线为
，设切点为
，易知
，求导得
，则
，可得
，
，由
，则切点为
，所以
为
，
与
在
上有4个交点，从
到
的平移过程中，满足题意的
；
④将
向下平移，直至过点
，此时直线记为
，方程为
，在此过程中直线与
的交点始终超过3个，都不符合题意；
⑤将
向下平移，直至过点
，此时直线记为
，方程为
，在此过程中直线与
的交点都是3个（不包含
和
），满足题意的
；
⑥将
向下平移，都不符合题意.
综上，
的所有可能取值集合是
.
故选：
D.
【点睛】本题考查函数图象的应用，考查根据方程解的个数求参数，考查转化思想，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
二､填空题
11.已知
，则
______.
【答案】
【分析】
利用诱导公式计算即可.
【详解】解：
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题.
12.在
中，已知
，
，则
的面积为______.
【答案】
【分析】
由已知得
，再由正弦定理可得
，整理变形可得
，进一步可说明
是等边三角形，则面积可求.
【详解】解：
由已知
，即
，
又由正弦定理
，
，即
，
，由于是在
中，
，同理
，
所以
是等边三角形，
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查正弦定理，三角形面积公式的应用，考查学生计算能力，是中档题.
13.已知点
，
为坐标原点，点
，
分别在
轴和
轴，且满足
，则
______，
的最小值为______.
【答案】
（1）.2
（2）.
【分析】
设
，则由
可得
，得出
，则可求出
，可得
，即可求出最小值.
【详解】设
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
当
时，
取得最小值为
.
故答案为：
2；
.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查模的最值的计算，属于基础题.
14.已知函数
，若
恒成立，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】
当
时，
恒成立；当
时，由
，可分离参数
，构造函数
，结合
的取值范围，可求出
的取值范围.
【详解】当
时，
，显然
恒成立，此时
；
当
时，
等价于
；
当
，
等价于
构造函数
，求导得
，
当
时，
，此时函数
单调递减，且
，只需
，即可满足
恒成立；
当
时，
，此时函数
单调递减；当
时，
，函数
单调递增，
所以
在
上的最小值为
，只需
，即可满足
恒成立.
综上，实数
需满足
，即
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
15.将函数
图象上各点横坐标变为原来的
倍，再向左平移
个单位，得到函数
的图象.已知
在
上有且只有5个零点.在下列命题中：
①
的图象关于点
对称；
②
在
内恰有5个极值点；
③
在区间
内单调递减；
④
的取值范围是
.
所有真命题的序号是______.
【答案】①④
【分析】
根据正弦型函数的图象变换性质求出函数
的解+析式，结合正弦型函数零点的性质求出
的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、极值、单调性逐一判断即可.
【详解】因为函数
图象上各点横坐标变为原来的
倍，再向左平移
个单位，得到函数
的图象，
所以函数
的解+析式为：
，
当
时，
，
因为函数
在
上有且只有5个零点，
所以
，
因为
，
所以当
时，
，此时解不等式组，得
，
当
时，
，此时不等式组的解集为空集，
故④正确；
①：
因为
，所以
的图象关于点
对称，故本命题是真命题；
②：
因为
，所以
，
又因为
，所以
，而
，
即当
时，
，此时函数有4个极值点，故本命题是假命题；
③：
因为
，所以
，
又因为
，所以
，而
，故本命题是假命题；
故答案为：
①④
【点睛】本题考查了正弦型函数图象变换性质的应用，考查了正弦型函数的对称性、单调性、极值等性质，考查了数学运算能力.
三､解答题
16.在
中，已知
.
（1）求
；
（2）若
，
，求
【答案】
（1）
；
（2）
【分析】
（1）利用正弦定理得
，再根据
代入计算可得答案；
（2）由余弦定理列方程求解.
【详解】解：
（1）
，
由正弦定理得
，
又
，
，
整理得
，
又
，则
，
，即
，
；
（2）由余弦定理知
，
即
，
解得
或
（舍）
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生计算能力，是基础题.
17.已知函数
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