差分方程1--贷款买房及蛛网模型_精品文档PPT资料.ppt
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满足初始条件、不含任意常数的解。
常系数线性差分方程求解,n阶常系数方程,若=0,则称为齐次方程,线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似,即有:
(1)若是齐次差分方程的解,则也是的解,其中C为任意常数。
(2)若、是齐次差分方程的解,则它们的线性组合也是非齐次差分方程的解。
常系数线性差分方程求解,(3)若,是齐次差分方程n个线性无关的解,则它们的线性组合就是齐次差分方程的通解。
,称为齐次差分方程的一组基本解。
(4)若是齐次差分方程的通解,是非齐次方程的一个特解,则是非齐次方程的通解。
常系数线性差分方程求解,齐次常系数线性差分方程求解,特征方程,若是特征方程的个不同的根,,通解可表为,时,只要将,换为,齐次常系数线性差分方程求解,当特征方程有一对共扼单复根时,当特征方程有一对共扼n重复根时,非齐次常系数线性差分方程求解,例求下列差分方程的通解:
(1)
(2)(3)(4),1减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持,通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食(吸收热量)引起体重增加,代谢和运动(消耗热量)引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525超重;
BMI30肥胖.,模型假设,1)体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1千克;
2)代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡-320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡;
3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关;
4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5千克,每周吸收热量不要小于10000千卡。
某甲体重100千克,目前每周吸收20000千卡热量,体重维持不变。
现欲减肥至75千克。
第一阶段:
每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限(10000千卡);
第二阶段:
每周吸收热量保持下限,减肥达到目标,2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划。
1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
减肥计划,3)给出达到目标后维持体重的方案。
确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡,基本模型,w(k)-第k周(末)体重,c(k)-第k周吸收热量,-代谢消耗系数(因人而异),1)不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡w=100千克不变,第一阶段:
w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克,第10周末体重90千克,吸收热量为,1)不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段:
每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,1)不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段:
每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。
运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。
2)第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3)达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变,不运动,运动(内容同前),问题:
试建立微分方程模型讨论减肥问题,假设:
(1)人每天吸收的能量为固定数A千卡;
(2)单位时间里,人体内用于基础代谢和体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重,比例系数为b;
(3)从事某项运动(活动)在单位时间里消耗的能量正比于体重。
单位时间每千克体重消耗的能量为r;
(4)体重w(t)是时间t的连续可导函数;
我们以“天”为时间单位。
体重模型,1问题与背景一对年轻夫妇准备购买一套住房,但缺少资金近6万元。
假设它们每月可有节余900元,且有如下的两种选择:
使用银行贷款60000元。
月利率0.01,贷款期25年=300个月;
到某借贷公司借贷60000元,月利率0.01,22年还清。
只要(i)每半个月还316元,(ii)预付三个月的款你能帮他们做出明智的选择吗?
2贷款买房,2建模与求解,设最初需要借的款数为,月利率(贷款通常按复利计)为,每月还的款数为,借期为N,第n个月时尚欠的款数为,已知,3.结果和分析,=60000,R=0.01,=300,问题1,所以,他们是有能力购房的!
3.结果和分析,问题2,每月还款也是632元,只是多跑一次银行,预付632x3=1896元,提前三年还清,少付316x72=22752元,半月利率取为R=0.005,,年,好仁慈的借贷公司啊!
?
3.结果和分析,事实上,按第2个条件,你只借了58104元而不是60000元,即使按R=0.01,来算,使的N为253.05(个月)(年)。
即实际上提前将近4年就可还清。
该借贷公司只要去同样的银行借款,即使半个月收来的316元不动,再过半个月合在一起去交给银行,它还可坐收第22年的款近7000元!
3市场经济中的蛛网模型,问题,供大于求,现象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛网模型,xk第k时段商品数量;
yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0)平衡点,一旦xk=x0,则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,x,y,0,f,g,y0,x0,P0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,f,g,曲线斜率,蛛网模型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方程模型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,(下时段)供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,xk第k时段商品数量;
yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使尽量小,如=0,以行政手段控制价格不变,2.使尽量小,如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。
生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定,即k,xkx0的条件,方程通解,(c1,c2由初始条件确定),1,2特征根,即方程的根,平衡点稳定,即k,xkx0的条件:
平衡点稳定条件,比原来的条件放宽了,模型的推广,作业:
P2221;
2。
用微分方程模型讨论模型2的减肥计划,