差分方程1--贷款买房及蛛网模型_精品文档PPT资料.ppt

1、满足初始条件、不含任意常数的解。,常系数线性差分方程求解,n阶常系数方程,若=0，则称为齐次方程,线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似，即有：（1）若 是齐次差分方程的解，则 也是的解，其中C为任意常数。（2）若、是齐次差分方程的解，则它 们的线性组合 也是非齐次 差分方程的解。,常系数线性差分方程求解,（3）若，是齐次差分方程n个线性无关的解，则它们的线性组合 就是齐次差分方程的通解。，称为齐次差分方程的一组基本解。（4）若 是齐次差分方程的 通解，是非齐次方程的一个特解，则 是非齐次方程的通解。,常系数线性差分方程求解,齐次常系数线性差分方程求解,特征方程,若 是特征方程的 个不同的

2、根，,通解可表为,时，只要将,换为,齐次常系数线性差分方程求解,当特征方程有一对共扼单复根时,当特征方程有一对共扼n重复根时,非齐次常系数线性差分方程求解,例 求下列差分方程的通解：（1）（2）（3）（4）,1 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w（kg）/l2（m2）.18.525 超重;BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量 每8000千卡增加

3、体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡-320千卡（因人而异）,相当于70千克的人每天消耗2000千卡-3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两阶段

4、计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w（k）-第k周（末）体重,c（k）-第k周吸收热量,-代谢消耗系数（因人而异）,1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段:w（k）每周减1千克,c（k）减至下限10000千卡,第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c（k）保持Cm,w（k）减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c（k）保持Cm,w（k）减

5、至75千克,第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按 减少至75千克。,运动 t=24（每周跳舞8小时或自行车10小时）,14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间（小时）,3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c（k）保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动（内容同前）,问题：试建立微分方程模型讨论减肥问题,假设：,（1）人每天吸收的能量为固定数A千卡；,（2）单位时间里，人体内用于基础代谢和体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重，比例系数为b;,（3）从事某项运动（活动）在单位时间里消耗的能量正比于体重。单位时间每千克体重消耗的能量为r;,（4

6、）体重w（t）是时间t的连续可导函数；,我们以“天”为时间单位。,体重模型,1 问题与背景 一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月；到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i）每半个月还316元，（ii）预付三个月的款 你能帮他们做出明智的选择吗？,2 贷款买房,2 建模与求解,设最初需要借的款数为，月利率（贷款通常按复利计）为，每月还的款数为，借期为N，第n个月时尚欠的款数为,已知,3.结果和分析,=60000，R=0.01，=300,问题1

7、,所以，他们是有能力购房的！,3.结果和分析,问题2,每月还款也是632元，只是多跑一次银行,预付632 x 3=1896元,提前三年还清，少付316 x 72=22752 元,半月利率取为R=0.005，,年,好仁慈的借贷公司啊！,？,3.结果和分析,事实上，按第2个条件，你只借了58104元而不是60000元，即使按R=0.01，来算，使 的N为 253.05（个月）（年）。即实际上提前将近4年就可还清。该借贷公司只要去同样的银行借款，即使半个月收来的316元不动，再过半个月合在一起去交给银行，它还可坐收第22年的款近7000元！,3 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现象,商品数量

8、与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0（x0,y0）平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0,x,y,0,f,g,y0,x0,P0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,f,g,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,商品数量减少1单

9、位,价格上涨幅度,价格上涨1单位,（下时段）供应的增量,考察,的含义,消费者对需求的敏感程度,生产者对价格的敏感程度,小,有利于经济稳定,小,有利于经济稳定,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1.使 尽量小，如=0,以行政手段控制价格不变,2.使 尽量小，如=0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件,方程通解,（c1,c2由初始条件确定）,1,2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k,xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,作业：P222 1;2。用微分方程模型讨论模型2的减肥计划,