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压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向压力称为压杆的压力称为压杆的临界力临界力临界力临界力，用用Fcr表示之。

表示之。

压杆工作时决不允许失稳。

1.1.1.1.平衡的稳定性平衡的稳定性平衡的稳定性平衡的稳定性（StabilityofequilibriumStabilityofequilibrium）随遇平衡随遇平衡随遇平衡随遇平衡2.2.2.2.弹性压杆的稳定性弹性压杆的稳定性弹性压杆的稳定性弹性压杆的稳定性（StabilityofEquilibriumappliesto（StabilityofEquilibriumappliestoelasticcompressivemembers）elasticcompressivemembers）稳定平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态临界平衡状态临界平衡状态临界平衡状态临界平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态关键关键关键关键确定压杆的确定压杆的确定压杆的确定压杆的临界力临界力临界力临界力FFcrcr稳稳稳稳定定定定平平平平衡衡衡衡不不不不稳稳稳稳定定定定平平平平衡衡衡衡临界状态临界状态临界状态临界状态临界压力临界压力临界压力临界压力:

FFcrcr过过过过度度度度对应的对应的对应的对应的压力压力压力压力案例案例案例案例1199511995年年年年66月月月月2929日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死使大楼倒塌，死使大楼倒塌，死使大楼倒塌，死502502人，伤人，伤人，伤人，伤930930人，失踪人，失踪人，失踪人，失踪113113人人人人.案例案例案例案例2200022000年年年年1010月月月月2525日上午日上午日上午日上午1010时南时南时南时南京电视台演播中心由于脚手架失稳京电视台演播中心由于脚手架失稳京电视台演播中心由于脚手架失稳京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，造成屋顶模板倒塌，造成屋顶模板倒塌，造成屋顶模板倒塌，死死死死66人，伤人，伤人，伤人，伤3434人人人人.研究压杆稳定性问题尤为重要研究压杆稳定性问题尤为重要892压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式xyl由平衡方程得：

由平衡方程得：

（a）挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为（b）将式将式（a）代入式代入式（b）得得（c）令令，得微分方程：

，得微分方程：

9l通解为：

通解为：

由由x=0，y=0；

得得B=0，于是于是由由x=l，y=0；

得得:

若若A=0，则则y0，挠曲线为直线，无意义，只能挠曲线为直线，无意义，只能于是得：

于是得：

由式由式得：

得：

10此解最小者为压杆的临界力，但此解最小者为压杆的临界力，但n=0，Pcr=0，无意义，故无意义，故取取n=1。

即。

即这就是两端铰支压杆临界力的这就是两端铰支压杆临界力的欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式。

其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形其它支承压杆临界力的欧拉公式与此类似，写成统一形式：

式：

其中其中称为杆的称为杆的长度系数长度系数长度系数长度系数。

11杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表。

度系数如下表。

ll两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端自由一端自由一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定ll约束情况约束情况长度系数长度系数压杆形状压杆形状12l1.3l1.7l2l（a）（b）（c）

【例【例9-1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界力最大。

哪个临界力最大。

解：

（d）杆临界力最大。

杆临界力最大。

稳定问题与强度问题的区别稳定问题与强度问题的区别稳定问题与强度问题的区别稳定问题与强度问题的区别（Distinguishbetweenstable（Distinguishbetweenstableproblemandstrengthproblem）problemandstrengthproblem）平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态应力应力应力应力平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程极限承载能力极限承载能力极限承载能力极限承载能力直线平衡状态不变直线平衡状态不变直线平衡状态不变直线平衡状态不变平衡形式发生变化平衡形式发生变化平衡形式发生变化平衡形式发生变化达到限值达到限值达到限值达到限值uu小于限值小于限值小于限值小于限值pp变形前的形状、尺寸变形前的形状、尺寸变形前的形状、尺寸变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸变形后的形状、尺寸变形后的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定实验确定实验确定实验确定理论分析计算理论分析计算理论分析计算理论分析计算强度问题强度问题强度问题强度问题稳定问题稳定问题稳定问题稳定问题压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？

压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？

压杆压杆压杆压杆1493临界应力临界应力欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力临界应力临界应力临界应力。

令令，i为截面对中性轴的为截面对中性轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径。

引入记号：

称为压杆的柔度（或长细比）。

（a）式改写为：

）式改写为：

一、临界应力一、临界应力15二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。

上式为计算压杆临界应力的欧拉公式。

欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即中的临界应力不得超过材料的比例极限，即取取cr=P时的柔度值为时的柔度值为P，则有，则有16因此，欧拉公式的适用范围为因此，欧拉公式的适用范围为式中式中1是判断是判断欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为欧拉公式是否适用时柔度的界限值，称为判别判别判别判别柔度柔度柔度柔度。

1的压杆称为大的压杆称为大柔度杆，或细长杆。

只有柔度杆，或细长杆。

只有大大柔度杆柔度杆才能用欧拉公式求解。

才能用欧拉公式求解。

17【例【例9-2】图示压杆的图示压杆的E=70GPa，P=175MPa。

此此压杆是否压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。

适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。

1.5mPyz10040【解【解】因因1，此压杆为大，此压杆为大柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：

柔度杆，欧拉公式适用，临界力为：

18【例【例9-3】图示圆截面压杆，图示圆截面压杆，d=100mm，E=200GPa，P=200MPa。

试求可试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。

用欧拉公式计算临界力时杆的长度。

lPd【解【解】19【例【例9-4】图示矩形截面压杆，其约束性质为：

在图示矩形截面压杆，其约束性质为：

在xoz平面内平面内为两端固定；

在为两端固定；

在xoy平面内为一端固定，一端自由。

已知材平面内为一端固定，一端自由。

已知材料的料的E=200GPa，P=200MPa。

试求此试求此压杆的临界力。

压杆的临界力。

1mzy2060Pzxo【解【解】201mzy2060Pzxo压杆将在压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。

平面内失稳，欧拉公式适用。

压杆临界力为压杆临界力为219494超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力超过比例极限的临界应力一、超过比例极限后压杆的临界应力一、超过比例极限后压杆的临界应力当当1时，可用欧拉公式计算压杆的时，可用欧拉公式计算压杆的临界力和临界应临界力和临界应力，当力，当1时，压杆的时，压杆的临界力和临界应力的临界力和临界应力的计算计算，目前尚，目前尚没有严密的理论公式。

对于此类压杆，各国多采用经验公式没有严密的理论公式。

对于此类压杆，各国多采用经验公式计算压杆的计算压杆的临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线临界力和临界应力，这里仅介绍比较简单的直线经验公式。

即经验公式。

即式中式中a，b是与材料性质有关的常数，例如是与材料性质有关的常数，例如A3钢，钢，a=304MPa，b=1.12MPa。

22临界应力必须小于屈服极限，即临界应力必须小于屈服极限，即crs，当，当cr=s时，压时，压杆发生屈服破坏，属强度问题。

杆发生屈服破坏，属强度问题。

若以若以2表示对应于表示对应于cr=s时的柔度，则有时的柔度，则有二、临界应力总图二、临界应力总图压杆的临界应力与压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即柔度的关系曲线，即cr曲线，称曲线，称为为临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图。

23临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图2，计算杆件的柔度1，计算材料的欧拉公式1）若2）否则，要计算或当用经验公式当临界应力等于s临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图24通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算1为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全储备，压杆的稳定条件为为压杆的工作载荷，是压杆的临界载荷，是稳定安全系数,n为工作安全系数值一般比强度安全系数要大些29595压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算压杆稳定的实用计算2526【例【例9-5】两端铰支压杆，尺寸如图所示。

已知材料的两端铰支压杆，尺寸如图所示。

已知材料的E=200GPa，P=200MPa。

直线经验公式为直线经验公式为cr=304-1.12（MPa）。

若取稳定安全系数若取稳定安全系数nst=3，试确定容许压，试确定容许压力。

力。

600P3020zy【解【解】因因1，欧拉公式适用。

，欧拉公式适用。

例题例题例题例题ABAB的直径的直径的直径的直