仿真原理.docx
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一、仿真原理
1、给定条件
设有一个随机信号x（n）服从AR（4）过程，它是一个宽带过程，参数如下：
a
（1）
a
（2）
a（3）
a（4）
s2
-1.352
1.338
-0.662
0.240
1
通过观测方程y（n）=x（n）+u（n）来测量信号，u（n）是方差为1的高斯白噪声
2、推导初始条件如下：
由所给定的条件，得到状态方程如下：
x（n）=1.352*x（n-1）-1.338*x（n-2）+0.662*x（n-3）-0.24*x（n-4）+w（n）
其中w（n）表示动态噪声，其方差s2为1；
令x（-1）=x（-2）=x（-3）=x（-4）=0得到的初始值如下：
x
（1）=w（n）；
x
（2）=w（n）+1.352*x
（1）；x（3）=w（n）+1.352*x
（2）-1.338*x
（1）；
x（4）=w（n）+1.352*x（3）-1.338*x
（2）+0.602*x
（1）；
当n≥5时满足如下方程：
x（n）=1.352*x（n-1）-1.338*x（n-2）+0.602*x（n-3）-0.24*x（n-4）+w（n）;
其中w（n）是方差为1的高斯白噪声
对卡尔曼滤波有：
由状态方程可得
æx（n） ö æx（n-1）ö æ1ö
ç ÷ ç ÷ ç÷
çx（n-1）÷ çx（n-2）÷ ç0÷
=A* +w（n）
çx（n-2）÷ çx（n-3）÷ ç0÷
è ø è ø èø
çx（n-3）÷ çx（n-4）÷ ç0÷
状态变量增益矩阵为：
æ1.352-1.3380.6620.240ö
ç1 0 0 0÷
A=ç ÷
ç0 1 0 0÷
ç0 0 1 0÷
è ø
仅对x方向进行估计，即考虑一维的情况下，有：
状态变量与输出信号之间的增益矩阵Ck=[1000];
量测噪声协方差阵为Rk=[1];
æ1000ö
ç0100÷
噪声的均方误差阵为Pk=ç ÷；
ç0010÷
è ø
ç0001÷
3、仿真要求
分别利用Wiener滤波器和Kalman滤波器通过测量信号估计x（n）的波形
4、仿真原理
（1）维纳滤波原理
维纳滤波的原理是根据全部过去的和当前的观测数据x（n）,x（n-1）, …来估计信号的当前值。
以均方误差最小条件下求解系统的传递函数H（z）或单位冲激响应h（n）。
维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到。
Wiener滤波器的一般结构如下：
-
＋
线性滤波器
y（n）=dˆ（n）
x（n）
e（n）
d（n）
有一期望响应d（n）,滤波器系数的设计准则是使得滤波器的输出y（n）是均方意义上对期望响应的最优线性估计。
线性系统输出为：
y（n）=sˆ（n）=åh（m）x（n-m）
m
ìïé ¥ ù2üï
均方误差为：
Eéëe2（n）ùû=Eíês（n）-åh（m）x（n-m）úý
ïîë
m=0
ûïþ
¶Eéëe2（n）ùû
维纳滤波器的设计，实际上就是在最小均方误差条件下，即
¶hj
=0，
确定滤波器的冲激响应h（n）或系统函数H（z），可等效于求解维纳-霍夫方程：
[h]=[φxx]-1[φxs]。
（2）卡尔曼滤波原理
不需要全部过去的观察数据,只根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值。
它是用状态空间法描述系统，即由状态方程和量测方程组成。
解是以估计值（是状态变量的估计值）的形式给出的，其算法是递推。
卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和量测方程得到。
卡尔曼滤波的信号模型（一维）如下：
A（z）
wk sk
uk yk=sk+uk
离散系统的n维状态方程：
x（k）=Akxk-1+wk-1
离散系统的m维量测方程：
yk＝c＋kxk uk
令Ak表示状态变量之间的增益矩阵，Ck为状态变量与输出信号之间的增益矩阵，不随时间发生变化，动态噪声wk与观测噪声uk都是零均值的正态噪声，
k k kk
且两者互不相关，R＝var[u]=EéëuuTùû为量测噪声协方差矩阵，
中Q＝ var[w]=EéëwwTùû为动态噪声协方差矩阵。
k k kk
系统初始条件为：
E[x0]=m0
0 0 0 0
var[x]=Eéë（x-m）（x-m）Tùû=p
0
k
0
k
cov[x,w]=EéëxwTùû=0
0
k
0
k
cov[x,u]=EéëxuTùû=0
卡尔曼滤波的基本思想是先不考虑激励噪声wk和观测噪声uk，得到状态的
估计值xˆ'和观测数据的估计值yˆ',再用观测数据的估计误差y%=y-yˆ
去修正状
k k k k k
态的估计值xˆk，通过选择修正矩阵H使得状态估计误差的均方值Pk最小。
卡尔曼滤波的递推公式如下：
ìxˆk
ï
=Akxˆk-1+Hk（yk-CkAkxˆk-1）
-1
k kk kkk k
ïH=P'CT（CP'CT+R）
í
ï P'=APAT+Q
k kk-1k k-1
ï P=（I-HC）P'
î k kk k
假设初始条件Ak，，Ck，Q，k，R，k
yk xˆk-1
Pk-1已知，其中
xˆ0=E[x0]，P0=var[x0]，则卡尔曼滤波的递推流程如下：
xˆ ，P P'
k-1
k-1
P'=APAT+Q k
xˆk
k kk-1
k k-1
H=P'CT（CP'CT+R
xˆk=Akxˆk-1+Hk（yk-CkAkxˆk-1）
k kk kkk k
Hk
）-1
Pk P
=（I-HC
）P'
k kk k
二、 仿真流程
（1）维纳滤波仿真流程如下：
初始条件+状态方程
观测信号与期望信号的互相关函数φyx
观测样本y=x+v，
v表示加性高斯白噪声
真实值x
输出滤波估计值xk_s
维纳滤波器系数：
[h]=[φyy]-1[φyx]
观测信号的自相关函数φyy
误差=真实值-滤波估计值
_
（2）卡尔曼滤波仿真流程如下：
初始值xˆ0
_
误差=真实值-滤波估计值
k=k+1
k=k+1
计算估计值：
xˆk=Akxˆk-1+Hk（yk-CkAkxˆk-1）
观测值ykyk=x+v
kk k
k
'
）
（
P=I-HC P
计算滤波后的均方误差阵：
-1
）
k
k kk kkk
'T
（
'T
H=PC CPC+R
计算增益矩阵：
真实值x
k kk-1k k-1
P'=APAT+Q
计算未考虑噪声时的均方误差阵：
给定Ak、Ck、Rk、Pk的初始值
三、仿真结果及分析
1、利用维纳滤波器进行估计：
（1）Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，u（n）的方差为1时，
通过仿真得到真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较图形如下图1所示：
□估估估
估估估估
估估估估
6
4
2
0
-2
-4
-6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图1采用维纳滤波，噪声方差为1时，真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较从图1可以看出，利用Wiener滤波器通过测量信号估计x（n）的波形，得
到的估计轨迹接近于真实轨迹。
当噪声方差为1时，估计轨迹与真实轨迹间的误差很小。
（2）Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，u（n）的方差为1
时，通过仿真得到平均误差如下图2所示：
□估估估
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图2采用维纳滤波，噪声方差为1时的平均误差
从图2可以看出，利用Wiener滤波器通过测量信号估计x（n）的波形，当
噪声方差为1时，得到的估计轨迹与真实轨迹的平均误差较小，而且刚开始的时候平均误差相对较大，随着时间的推移，平均误差有逐渐减小的趋势。
（3）Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，u（n）的方差为4时，
通过仿真得到真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较图形如下图3所示：
□估估估
估估估估
估估估估
15
10
5
0
-5
-10
-15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图3采用维纳滤波，噪声方差为4时，真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较从图3可以看出，当噪声方差为4时，估计轨迹与真实轨迹间的误差变
大了。
利用Wiener滤波器通过测量信号估计x（n）的波形，得到的估计轨迹接近
于真实轨迹。
（4）Wiener滤波器的阶数取101阶，观测点数取100，u（n）的方差为4
时，通过仿真得到平均误差如下图4所示：
□估估估
3
2
1
0
-1
-2
-3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图4采用维纳滤波，噪声方差为4时的平均误差
从图4可以看出，当噪声方差为4时，估计轨迹与真实轨迹间的平均误差变大了。
而且刚开始的时候平均误差相对较大，随着时间的推移，平均误差有逐渐减小的趋势。
2、利用卡尔曼滤波器进行估计：
（1）采用卡尔曼滤波，观测点数取100，u（n）的方差为1时，通过仿真得
到真实轨迹、观测样本及估计轨迹的比较图形如下图5所示：
□估估估
估估估估
估估估估
6
4
2
0
-2
-4
-6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
图5 采用卡尔曼滤波，噪声
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