第21讲优化方法_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

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b为m维列矢量；

A是mn矩阵。

所有满足约束条件的解称为线性规划问题的可行解；

约束方程的解中非零元素的数目不大于约束方程数m时，称之为基本解。

全体可行解构成的集合称为该线性规划问题的可行域。

由于所有约束均为线性的，可行域为多边形或多面体，所有基本可行解对应于可行域的顶点。

一、线性规划简介ShanghaiJiaoTongUniversity-5/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法例2-1，饲料配比问题：

某饲料由三种原料混合而成，每种原饲料的营养成分及单价见下表:

80.030.010.04原饲料3120.050.040.03原饲料2150.090.020.06原饲料1单价营养C营养B营养A要求：

混合饲料中必须包含：

营养A0.04，营养B0.02，及营养C0.07。

问：

三种原饲料按什么比例混合配比，成本最低?

ShanghaiJiaoTongUniversity-6/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法分析：

设x1为第一种原饲料含量比例；

设x2为第二种原饲料含量比例；

则第三种原饲料含量比例为1x1x2；

目标函数：

Min15x1+12x2+8（1x1x2）；

约束函数：

0.06x1+0.03x2+0.04（1x1x2）0.04；

0.02x1+0.04x2+0.01（1x1x2）0.02；

0.09x1+0.05x2+0.03（1x1x2）0.07；

1x10；

1x20；

1（1x1x2）0；

上述线性规划问题化简后为：

ShanghaiJiaoTongUniversity-7/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法求解两变量的线性规划问题最有效的方法是图解法：

根据约束条件所包围的区域构成目标函数的解的可行域。

根据图形得到可行域的顶点分别为：

（1,0）,（1/2,1/2）,（5/8,1/8）。

目标函数:

Min8+7x1+4x2；

约束函数:

2x1x20；

x1+3x21；

3x1+x22；

1x1+x20；

1x101x202x1x201x1+x20x1+3x213x1+x225/8,1/81/2,1/21,0x1x2oShanghaiJiaoTongUniversity-8/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法定理定理：

线性规划如果存在最优点，则它一定出现在可行域构成的凸域的顶点。

解法一：

计算可行域各顶点的函数值，比较后得出最优解。

f（1,0）=15f（x）=8+7x1+4x2f（1/2,1/2）=13f（5/8,1/8）=12显然成本最低为12，三种原饲料的配比分别为：

x1*=5/8,x2*=1/8,x3*=1/4，f*=12。

解法二：

目标函数平移法1.作目标函数的等值线7x1+4x2=c;

2.与可行域顶点相切的最小常数c所对应的等值线，即为该目标函数的最小值，对应顶点即为独立变量的最优点。

ShanghaiJiaoTongUniversity-9/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法例2-2，运输问题某运输公司在各地有许多车货物需运输至其它城市，货物所在地、数量、目的地、以及每车运费如下表，问如何调度车辆使得整个运输费用最省？

出发地运往目的地A城50车C城20车B城40车D城36车总计90车E城34车C城D城E城A城425560B城364751运输货物任务运输货物任务每车运费每车运费（百元百元）ShanghaiJiaoTongUniversity-10/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法426036475155ShanghaiJiaoTongUniversity-11/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法根据上述定义，建立目标函数为：

约束条件为：

ai0，bi0，xi0，共有mn个变量，分别表示从某城市到另一城市运货的车数。

同时，从m个城市发出的车辆总数应等于n个城市接收到的车辆的总数。

故有：

运输问题的一般模型描述为：

出发地m处，目的地n处。

设ai=出发地i拥有的车辆，i1，2，m；

bj=目的地j所需的车辆，j1，2，n；

cij=由出发地i到目的地j每车货物的运费；

xij=由出发地i到目的地j车辆运货数目。

ShanghaiJiaoTongUniversity-12/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法为将运输问题转换为线性规划的一般描述形式，设：

约束方程系数为：

A为（m+n）（mn）维矩阵；

HnT=1111为n维矢量矩阵A中n维矢量HnT共m个0nT=0000为n维矢量ShanghaiJiaoTongUniversity-13/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法In为（nn）单位矩阵，共有m个。

由上述分析可知，运输问题的建模十分庞大，需结合实际的运输情况具体分析，进一步简化模型。

ShanghaiJiaoTongUniversity-14/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法运输问题建模：

设由AA城运往CC的车辆数为x11、运往DD的车辆数为x12、运往EE的车辆数为50x11x12；

设由BB城运往CC的车辆数为20x11、运往DD的车辆数为36x12、运往EE城的车辆数为34（50x11x12）或40（20x11）（36x12）。

90343620共计4034（50x11x12）40（20x11）（36x12）36x1220x11B城5050x11x12x12x11A城共计E城D城C城ShanghaiJiaoTongUniversity-15/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法f（x）=42x11+55x12+60（50x11x12）+36（20x11）+47（36x12）+51（x11+x1216）=3x11x12+4596目标函数：

以总运费为目标函数，经简化，得约束函数:

x110；

x120；

20x11036x12050x11x12016+x11+x120解法一：

图解法，根据约束函数，得出可行域及其顶点的坐标，计算可行域各顶点的函数值。

从实际情况出发，每处调度的车辆或接收的车辆数目不可能为负数，因而增加非负约束：

ShanghaiJiaoTongUniversity-16/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法x11x12o20,016,00,1620,3014,360,36f（20,0）=4536f（x）=3x11x12+4596f（16,0）=4548f（0,16）=4580f（0,36）=4560f（14,36）=4518f（20,30）=4506由计算结果知最低运输费用为：

f*=Minf=f（20,30）=4506解法二：

目标函数平移法1.作代表目标函数变化的等值线族3x11x12=c;

2.减小c，则等值线平行上移，和可行域最后相交于顶点（20，30），得到同样的结果。

ShanghaiJiaoTongUniversity-17/50-2022/10/312022/10/31二、线性规划建模及图解法60B城03020A城E城D城C城34运输问题的最优调度方案根据上述解法的过程，可以直观地总结出线性规划的特性:

1.满足约束条件的解一般有无穷多组，称为可行解，其集合为可行域，线性规划的可行域一般为凸域，可行解的集合为凸集合。

2.约束方程组的解x中，非零元素数目不超过约束方程数m时，称为基本解。

符合实际约束x0的基本解称为基本可行解。

3.如果线性规划有最优解，则一定存在一个基本可行解是最优解。

即线性规划的最优解可以在基本可行解的集合中寻找，也就是在可行域的顶点处。

ShanghaiJiaoTongUniversity-18/50-2022/10/312022/10/31三、线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式为：

Minf（x）=cxSub.toAx=bx0其中x为独立变量（n元素列矢量）；

c为价格系数（n元素行矢量）；

A为约束方程组系数矩阵（mn）；

b为约束方程组等式中m维列矢量；

x0要求所有元素均为非负。

具体线性规划问题的模型如果不符合标准形式为，则需通过各种方法将其转换成为标准形式，再作讨论。

将非标准形式转换成标准形式的方法1.如果极大化目标函数，Maxf（x）则可转换成为极小化负函数Minf（x）形式。

2.引入松弛变量，将不大于不等式约束条件转换为等式约束条件。

ShanghaiJiaoTongUniversity-19/50-2022/10/312022/10/31三、线性规划问题的标准形式若线性规划问题的模型为：

Minf（x）=cxSub.toAxbx0则将约束条件转换为：

转换成标准形式之后，变量数由n个增加至n+m个，标准形式的约束方程系数矩阵变为：

同时，x1,x2,xn0，并且松弛变量xn+1,xn+2,xn+m0ShanghaiJiaoTongUniversity-20/50-2022/10/312022/10/31三、线性规划问题的标准形式其中，A是原约束方程系数矩阵（mn）；

而I是单位矩阵（mm）转换后的约束方程可表示为：

其中，xs为由松弛变量组成的矢量。

ShanghaiJiaoTongUniversity-21/50-2022/10/312022/10/31三、线性规划问题的标准形式3.引入剩余变量，将不小于不等式约束条件转换为等式约束条件。

若线性规划问题的模型为：

Minf（x）=cxSub.toAxbx0则将约束条件转换为：

ShanghaiJiaoTongUniversity-22/50-2022/10/312022/10/31三、线性规划问题的标准形式转换后的约束方程可表示为：

其中，xs为由剩余变量组成的矢量。

4.如果x为自由变量，没有非负约束，将该问题转换为标准形式。

将自由变量表示为两个非负约束的变量之差，如：

xi=ui