分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)Word格式.doc

分式函数的图像与性质(又称作双钩函数、奈克函数、对号函数)Word格式.doc

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由此可以画出函数的图像，如下：

单调减区间：

；

值域：

对称中心：

。

【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？

该函数的单调性由哪些条件决定？

【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，

12

数学有时候是折磨人的工具

需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数的图像与性质

（1）定义域：

；

（2）值域：

（3）单调性：

单调区间为；

（4）渐近线及对称中心：

渐近线为直线，对称中心为点；

（5）奇偶性：

当时为奇函数；

（6）图象：

如图所示

问题2：

例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。

绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：

函数的定义域为：

根据单调性定义，可以求出的单调区间

增区间：

减区间：

函数的值域为：

函数的奇偶性：

奇函数

函数图像的渐近线为：

函数的图像如下：

高中数学大学毕业后能记得的还有多少呢？

【反思】如何绘制陌生函数的图像？

研究新函数性质应从哪些方面入手？

【小结】分式函数的图像与性质：

（3）奇偶性：

奇函数；

（4）单调性：

在区间上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：

以轴和直线为渐近线；

如右图所示

例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像

根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：

可是为什么还要学数学，还要考数学呢?

【反思】结合刚才的两个例子，与的图像又是怎样的呢？

思考与的图像是怎样的呢？

的图像呢？

函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。

同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：

其中还是有着一定道理的

【小结】的图像如下：

（i）

（ii）

（iii）

其实，数学学下来，更多的是学习种种思维方式

（iv）

的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：

问题3：

函数的图像是怎样的？

单调区间如何？

【分析】

所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。

图像的对称中心为：

单调增区间为：

单调减区间为：

图像如下：

学习的是研究与解决问题的方式方法

【反思】函数的性质如何呢？

单调区间是怎样的呢？

【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。

对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。

如：

※典型例题

例1、若则的最小值是__________．

由，得

【注】此处可以借助函数的图像与性质

【变式】若，求的取值范围.

例2、求函数的值域.

，令，则

，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以

【注】“换元”后必须注意新元的范围。

“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。

【变式】求函数的值域.

例3、已知在区间单调递增，求的取值范围.

【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.

当时，在区间显然单调递增；

当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增

当时在区间内单调递增，所以，所以

综上所述，实数的取值范围为.

【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围.

例4、某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第次投入后，每只产品的固定成本为（为常数，且），若产品销售价保持不变，第次投入后的年利润为万元．

（1）求的值，并求出的表达式；

（2）问从今年算起第几年利润最高?

最高利润为多少万元?

（1）由，当时，由题意，可得，

所以

（2）由

当且仅当，即时取等号，

所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元.

例5、已知，若对所有的均成立，求实数的取值范围.

【分析】典型的恒成立问题，可以采用分离变量的方法，转化成函数最值问题研究

由题易知，令，

，当且仅当时取等号

所以，即.

【注】若，注意取到等号的条件，关注函数的定义域，不能一味的根据基本不等式求解.

【变式】数列满足：

，则数列中的最大值为_______．

※学习小结

学习评价

※自我评价你本节课程学习情况为（）.

A.很好B.较好C.一般D.较差

※当堂检测（时量：

5分钟满分：

10分）计分：

1、若则的最小值是________．

2、函数的值域是________．

3、已知内单调递减，求实数的取值范围。

4、

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。

5、设．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。

课后作业

1、函数的值域为__________．

2、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围________．

3、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围________．

4、函数的值域是________．

5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”．

若，则函数在上的“定下界”__________．

6、【11年闸北】据测算：

2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；

如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．

（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？

（2）试将2011年该产品的年利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数，并求2011年的最大利润．

7、已知函数的定义域为（为常数）.

（1）证明：

当时，函数在定义域上是减函数；

（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．

8、【06年上海】已知函数有如下性质：

如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数.

（1）如果函数在上是减函数,在上是增函数,求实常数的值；

（2）设常数，求函数的最大值和最小值；

（3）当是正整数时,研究函数的单调性,并说明理由.

9、【08年上海】已知函数。

（1）若，求的值；

（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。

10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：

函数不存在“和谐区间”．

（2）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）