最大流问题PPT课件下载推荐.ppt

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从vi到vj的运输线，弧旁数字：

这条运输线的最大通过能力容量。

制定一个运输方案，使从v1运到v6的产品数量最多。

二、二、基本概念基本概念11、网络与流、网络与流设一个赋权有向图D=（V,A）,在V中指定一个发点vs和一个收点vt,其它的点叫做中间点。

对于D中的每一个弧（vi,vj）A,都有一个非负数cij,叫做弧的容量。

我们把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做D=（V，A，C）。

弧的容量：

是对网络上的每条弧（vi,vj）都给出一个最大的通过能力，记为c（vi,vj）或简写为cij。

流：

加在网络各条弧上的一组负载量f（vi,vj）：

加在弧（vi,vj）上的负载量，简记为fij，为非负数网络上的流：

是指定义在弧集合上的一个函数f=f（vi,vj）,其中f（vi,vj）称为弧（vi,vj）上的流量，流也可看作一个双下标变量弧的流量f（vi,vj）：

表示弧（vi,vj）上每单位时间内的实际通过能力弧的容量c（vi,vj）：

表示弧（vi,vj）上每单位时间内的最大通过能力

（1）每一个弧上的流量不能超过它的容量.

（2）发点vs的净流出量和收点vt的净流入量必相等。

（3）每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零。

所以流fij应满足下列三个条件：

称满足上述三个条件的流为可行流：

数学描述如下：

（1）容量限制条件：

对于每一个弧（vi,vj）A有0f（vi,vj）c（vi,vj）（简记为0fijcij）

（2）平衡条件：

对于发点vs，有对于收点vt，有式子中V（f）称为可行流f的流量,即发点的净输出量（或收点的净输入量）。

3对于中间点:

流入量=流出量。

即对每个i（is,t）有f（vi,vj）-f（vj,vi）=0（is,t）（简记为fij-fji=0（is,t）即总流量=发点的净输出量=收点的净输入量容量网络的可行流总是存在的，如当所有弧的流均取零，即对所有的i,j,有f（vi,vj）=0就是一个可行流.v2v520v3v1v4v6610610161010求容量网络的最大流算法有Ford-Fulkerson标号法和Edmonds-Karps算法。

求下图v1到v6的最大流可以直接看出。

v1v2v4v6安排流量6；

v1v2v5v6安排流量10；

v1v3v4v6安排流量4；

v1v3v5v6安排流量6；

合计最大流量26。

图论的的方法来求最大流较为麻烦，可建立优化模型来求网络最大流。

我们知道起点vs的流出量与终点vt流入量相同，所以可连接一条终点到起点的虚拟弧，将整个网络看成一个封闭流动的回路，这样求最大流就等价于求vt到vs流量fts的最大值。

再由可行流的条件，记起点为第一点，终点为第n点，则有以下规划问题：

对上述网络图，lingo程序如下：

Model:

sets:

nods/v1.v6/;

arc（nods,nods）/v1,v2v1,v3v2,v4v2,v5v3,v4v3,v5v4,v6v5,v6v6,v1/:

c,f;

endsetsdata:

c=16201010661016,;

enddatan=size（nods）;

max=f（n,1）;

for（arc（i,j）:

f（i,j）=c（i,j）;

for（nods（i）:

sum（arc（i,j）:

f（i,j）=sum（arc（j,i）:

f（j,i）;

endvsv1vtv5v4v3v24310413354278Model:

nods/v0.v6/;

arc（nods,nods）/v0,v1v0,v2v0,v3v1,v2v1,v4v2,v4v2,v5v3,v2v3,v5v4,v6v5,v4v5,v6v6,v0/:

c=4310314534728,;

end二、最小费用最大流问题二、最小费用最大流问题最小费用最大流问题的数学模型设网络D=（V,A,W）,每条弧（vi,vj）除了容量wij以外还给出单位流量的费用c（vi,vj）0,（简记为cij）,这样，D就成为一个带费用的网络，记为D=（V,A,W,C）,其中,C称为费用函数用函数设F为D上的一个可行流，称为可行流可行流F的的费用用。

由于在满足最大流的情况下，运输方案不唯一，则存在一费用最小的最大流称为最小费用最大流。

例如下图图上每一条弧上有两个数字，前一个代表弧的容量，后一个数代表单位流的费用。

v2v5（7,8）v3v1v4v6（2,1）（8,2）（9,3）（5,6）（10,7）（5,5）（9,2）（6,4）最小费用最大流的求法可分为两步：

先求出网络的最大流；

将最大流作为一个约束，求出最小费用。

最大流模型前面已给出，下面给出最小费用的数学模型。

arc（nods,nods）/v1,v2v1,v3v2,v3v2,v4v3,v5v4,v3v4,v6v5,v4v5,v6v6,v1/:

c=8759925610,;

endModel:

c,w,f;

w=875992561014;

c=2852316470;

enddatamin=sum（arc:

c*f）;

f（6,1）=14;

f（i,j）=w（i,j）;

end