（2）∵AM是BC边上的中线，∴在△ABM中，AM2＋－2AM··cos∠AMB＝c2.①
在△ACM中，AM2＋－2AM··cos∠AMC＝b2.②
∵∠AMB＋∠AMC＝π，∴cos∠AMB＋cos∠AMC＝0.
①＋②，得AM2＝－.
又a＝，∴b2＋c2－3＝bc≤，当且仅当b＝c时等号成立．
∴b2＋c2≤6，∴AM2＝－≤，即AM≤.
∴BC边上的中线AM的最大值为.
大题专项训练2 数 列
1．（2019年陕西西安模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
（1）求a1；
（2）求an的通项公式．
【解析】
（1）在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中，
令n＝1，得2S1＝a2－22＋1.
令n＝2，得2S2＝a3－23＋1，
解得a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.
又2（a2＋5）＝a1＋a3，解得a1＝1.
（2）由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1,2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1，
得an＋2＝3an＋1＋2n＋1.
又a1＝1，a2＝5也满足a2＝3a1＋21，
所以an＋1＝3an＋2n对n∈N*成立．
所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n）．
所以an＋2n＝3n.所以an＝3n－2n.
2．（2019年山西吕梁模拟）已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n.
（1）证明：
{an－n}为等比数列；
（2）数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：
Tn<.
【证明】
（1）∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－（n＋1）＝2（an－n）．
又∵a1－1＝2，∴{an－n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由
（1）知bn－b1＝（bn－bn－1）＋（bn－1－bn－2）＋…＋（b2－b1）＝2n－1＋2n－2＋…＋2＝2n－2，则bn＝2n.
cn＝＝－，
∴Tn＝－＋－＋…＋－＝－<.
3．已知数列{an}的各项均为正数，且a－2nan－（2n＋1）＝0，n∈N*.
（1）求an；
（2）若bn＝（－1）n－1an，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
（1）由a－2nan－（2n＋1）＝0，得[an－（2n＋1）]·（an＋1）＝0，
∴an＝2n＋1或an＝－1.
又∵数列{an}的各项均为正数，∴an＝2n＋1.
（2）∵bn＝（－1）n－1an＝（－1）n－1·（2n＋1），
∴Tn＝3－5＋7－9＋…＋（－1）n－1·（2n＋1）．
当n为偶数时，Tn＝－2×＝－n；
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋an＝－（n－1）＋2n＋1＝n＋2.
4．已知数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝1，a2＝b2，a5＝b3，a14＝b4.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*（k＜p＜r）使，，成等差数列？
若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组即可）；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，则a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
即b2＝1＋d，b3＝1＋4d，b4＝1＋13d，∴（1＋4d）2＝（1＋d）（1＋13d），解得d＝2或d＝0（舍去），∴d＝2.
∴an＝1＋2（n－1），即an＝2n－1.
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴{bn}的公比q＝＝＝3，
∴bn＝b2qn－2＝3×3n－2，即bn＝3n－1.
（2）当k＝1时，若存在p，r，使，，成等差数列，则＝－＝－＝.
∵p≥2，∴ar＜0，与数列{an}为正项数列相矛盾．
∴当k＝1时不存在．
当k≥2时，设ak＝x，ap＝y，ar＝z，则＋＝，
∴z＝.
令y＝2x－1，得z＝xy＝x（2x－1），此时ak＝x＝2k－1，ap＝y＝2x－1＝2（2k－1）－1，
∴p＝2k－1，ar＝z＝（2k－1）（4k－3）＝2（4k2－5k＋2）－1.∴r＝4k2－5k＋2.
综上，当k＝1时，不存在p，r；
当k≥2时，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2满足要求．
大题专项训练3 概率与统计
1．（2018年北京东城区二模）某银行的工作人员记录了3月1号到3月15日上午10：
00在该银行取号后等待办理业务的人数，如图所示：
从这15天中，随机选取一天，随机变量X表示当天上午10：
00在该银行取号后等待办理业务的人数．
（1）请把X的分布列补充完整；
X
8
9
10
11
12
13
14
P
（2）令μ为X的数学期望，若P（μ－n≤X≤μ＋n）＞0.5，求正整数n的最小值；
（3）由图判断，从哪天开始的连续五天上午10：
00在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？
（结论不要求证明）
【解析】
（1）X的分布列如下：
X
8
9
10
11
12
13
14
P
（2）由
（1）可得X的数学期望EX＝8×＋9×＋10×＋11×＋12×＋13×＋14×＝10，
∴μ＝10.
∵P（10－1≤X≤10＋1）＝＜0.5，P（10－2≤X≤10＋2）＝＞0.5，∴n＝2.
（3）由图判断，从第10日或第11日开始的连续五天上午10：
00，在该银行取号后等待办理业务的人数均值最大.
2．（2018年安徽黄山质检）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入x（单位：
万元）
1
2
3
4
5
销售收益y（单位：
万元）
2
3
2
7
表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将
（2）的结果填入空白栏，并求y关于x的回归方程．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
【解析】
（1）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形的面积总和为1，
可知（0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02）×m＝1，解得m＝2.
∴图中各小长方形的宽度为2.
（2）由
（1）可知各小组依次是[0,2），[2,4），[4,6），[6,8），[8,10），[10,12]，
各小组的中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，
∴可估计平均值为1×0.16＋3×0.20＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04＝5（万元）．
（3）空白栏中填5.
＝＝3，＝＝3.8，
iyi＝1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＝69，
＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
∴＝＝1.2，＝3.8－1.2×3＝0.2.
∴回归方程为＝1.2x＋0.2.
3．（2019年江苏）在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{（0,0），（1,0），（2,0），…，（n,0）}，Bn＝{（0,1），（n,1）}，Cn＝{（0,2），（1,2），（2,2），…，（n,2）}，n∈N*.令Mn＝An∪Bn∪Cn.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．
（1）当n＝1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．
【解析】
（1）当n＝1时，A1＝{（0,0），（1,0）}，B1＝{（0,1），（1,1）}，C1＝{（0,2），（1,2）}，
则Mn中有6个点，从中任取两个不同的点，有C＝15种取法．
如图所示，D0D1＝E0E1＝F0F1＝D0E0＝E0F0＝D1E1＝E1F1＝1，
D0E1＝D1E0＝E0F1＝E1F0＝，D0F0＝D1F1＝2，D0F1＝D1F0＝，
所以X的所有可能取值为1，，2，，
P（X＝1）＝，P（X＝）＝，P（X＝2）＝，P（X＝）＝.
所以X的概率分布为
X
1
2
P
（2）Mn中共有（2n＋4）个点，设G和H是从Mn中取出的两个点，
因为P（X≤n）＝1－P（X>n），所以可先考虑X>n的情况．
①若G，H都在An中，或都在Bn中，或都在Cn中，则GH≤n，不存在X>n的情况．
②若G，H中一个在Bn中，另一个在An或Cn中，
则GH的可能取值为，，，…，，，
由n≥3，可得所以满足X>n的有E0Dn，E0Fn，EnD0，EnF0共4种情况．
③若G，H中一个在An中，另一个在Cn中，
则GH的可能取值为，，，…，，，
由n≥3，可得所以满足X>n的有D0Fn，DnF0共2种情况．
所以P（X>n）＝.
所以P（X≤n）＝1－＝.
4．（2018年山东烟台一模）在北京召
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