Q格式运算讲解Word格式文档下载.doc
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例如：
16进制数2000H＝8192，用Q0表示
16进制数2000H＝0.25，用Q15表示
但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。
从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。
Q越大，数值范围越小，但精度越高；
相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。
例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为1/32768=0.00003051。
因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；
而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。
在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。
浮点数与定点数的转换关系可表示为：
浮点数（x）转换为定点数（）：
定点数（）转换为浮点数（x）：
例如，浮点数x=0.5，定标Q＝15，则定点数＝，式中表示下取整。
反之，一个用Q＝15表示的定点数16384，其浮点数为16384×
2-15
＝16384/32768=0.5。
表3.1Q表示、S表示及数值范围
Q表示
S表示
十进制数表示范围
Q15
S0.15
-1≤X≤0.9999695
Q14
S1.14
-2≤X≤1.9999390
Q13
S2.13
-4≤X≤3.9998779
Q12
S3.12
-8≤X≤7.9997559
Q11
S4.11
-16≤X≤15.9995117
Q10
S5.10
-32≤X≤31.9990234
Q9
S6.9
-64≤X≤63.9980469
Q8
S7.8
-128≤X≤127.9960938
Q7
S8.7
-256≤X≤255.9921875
Q6
S9.6
-512≤X≤511.9804375
Q5
S10.5
-1024≤X≤1023.96875
Q4
S11.4
-2048≤X≤2047.9375
Q3
S12.3
-4096≤X≤4095.875
Q2
S13.2
-8192≤X≤8191.75
Q1
S14.1
-16384≤X≤16383.5
Q0
S15.0
-32768≤X≤32767
3.2高级语言：
从浮点到定点
在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言（如C语言）来编写模拟程序。
程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。
如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。
例3.1256点汉明窗计算
int i;
float pi=3.14159;
float hamwindow[256];
for（i=0;
i<
256;
i++）hamwindow[i]=0.54-0.46*cos（2.0*pi*i/255）;
如果要将上述程序用某种定点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。
为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。
下面讨论基本算术运算的定点实现方法。
3.2.1加法/减法运算的C语言定点模拟
设浮点加法运算的表达式为：
floatx,y,z;
z=x+y;
将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。
若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。
为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。
此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示。
如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。
1．结果不超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>
Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则
z＝x+yÞ
=
=Þ
所以定点加法可以描述为：
intx,y,z;
longtemp;
/*临时变量*/
temp＝y<
<
（Qx－Qy）;
temp＝x＋temp;
z＝（int）（temp>
>
（Qx－Qz））,若Qx≥Qz
z＝（int）（temp<
（Qz－Qx））,若QxQ≤z
例3.2定点加法
设x＝0.5，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x+y＝0.5+3.1＝3.6;
Qx＝15，Qy＝13，Qz＝13，则定点加法为：
x＝16384；
y＝25395;
temp＝25395<
2＝101580;
temp＝x+temp＝16384+101580＝117964;
z＝（int）（117964L>
2）＝29491;
因为z的Q值为13，所以定点值z＝29491即为浮点值z＝29491/8192＝3.6。
例3.3定点减法
设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝3.0-3.1＝-0.1;
Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为：
x＝24576；
y＝25295；
temp＝25395;
temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;
因为Qx<
Qz，故z＝（int）（-819<
2）＝-3276。
由于z的Q值为15，所以定点值z＝-3276即为浮点值z＝-3276/32768»
-0.1。
2．结果超过16位表示范围
Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：
intx，y；
longtemp，z；
（Qx-Qy）；
z＝temp>
（Qx-Qz），若Qx≥Qz
z＝temp<
（Qz-Qx），若Qx≤Qz
例3.4结果超过16位的定点加法
设x＝15000，y＝20000，则浮点运算值为z＝x＋y＝35000，显然z>
32767，因此
Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为：
x＝30000；
y＝20000；
temp＝20000<
1＝40000;
temp＝temp+x＝40000+30000＝70000;
z＝70000L>
1＝35000;
因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。
当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。
如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。
如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。
一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值（上溢为7FFFH，下溢为8001H），从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。
3.2.2乘法运算的C语言定点模拟
设浮点乘法运算的表达式为：
z=xy;
假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则
z=xyÞ
=Þ
=
所以定点表示的乘法为：
temp=（long）x;
z=（temp×
y）>
（Qx+Qy-Qz）;
例3.5定点乘法
设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为z=18.4×
36.8=677.12;
根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以
x=18841；
y=18841；
temp=18841L;
z=（18841L*18841）>
（10+9-5）=354983281L>
14=21666;
因为z的定标值为5，故定点z=21666即为浮点的z=21666/32=677.08。
3.2.3除法运算的C语言定点模拟
设浮点除法运算的表达式为：
z=x/y;
假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则
z=x/yÞ
=Þ
所以定点表示的除法为：
z=（temp<
（Qz-Qx+Qy））/y;
例3.6定点除法
设x=18.4，y=36.8，浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5;
根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=15；
所以有
x=18841,y=18841;
temp=（long）18841;
z=（18841L<
（15-10+9））/18841=308690944L/18841=16384;
因为商z的定标值为15，所以定点z=16384即为浮点z=16384/215=0.5。
3.2.4程序变量的Q值确定
在前面几节介绍的例子中，由于x、y、z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。
在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？
从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。
设变量的绝对值的最大值为，注意必须小于或等于32767。
取一个整数n，使它满足
则有
Q=15-n
例如，某变量的值在-1至＋1之间，即<
1，因此n=0，Q＝15-n=15。
确定了变量的就可以确定其Q值，那么变量的又是如何确定的呢？
一般来说，确定变量的有两种方法：
一种是理论分析法，另一种是统计分析法。
1．理论分析法
有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。
（1）三角函数，y=sin（x）或y=cos（x），由三角函数知识可知，|y|≤1；
（2）汉明窗，y（n）=0.54-0.46cos[2pn/（N-1）]，0≤n≤N-1。
因为-1≤cos[2pn/（N-1）]≤1，所以0.08≤y（n）≤1.0；
（3）FIR卷积。
y（n）=，设，且x（n）是模拟信号12位量化值，即有≤211，则≤211；
（4）理论已经证明，在自相关线性预测编码（LPC）的程序设计中，反射系数满足下列不等式：
，i=1,2,…,p,p为LPC的阶数。
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