高中数学专题训练三数列求和Word文档下载推荐.docx
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(Ⅰ)求a1,a2;
(Ⅱ){an}的通项公式。
19.已知数列:
,求的值。
20.求和:
21.求数列的前项和:
22.求数列的前项和。
23.求证:
24.求的值。
25.已知数列的通项公式,求它的前n项和.
26.已知数列的通项公式求它的前n项和.
27.求和:
28.已知数列
29.求和
30.解答下列问题:
(I)设
(1)求的反函数
(2)若
(3)若
31.设函数
求和:
32.已知数列的各项为正数,其前n项和,
(I)求之间的关系式,并求的通项公式;
(II)求证
33.已知数列{}的各项分别为的前n项和.
34.已知数列{}满足:
的前n项和
.
35.设数列{}中,中5的倍数的项依次记为
,
(I)求的值.
(II)用k表示,并说明理由.
(III)求和:
36.数列{}的前n项和为,且满足
(I)求与的关系式,并求{}的通项公式;
(II)求和
37.设数列是公差为,且首项为的等差数列,
求证:
答案:
1.设则
两式相减得
∴.
2.解:
由
由等比数列求和公式得===1-
3.解:
若a=0,则Sn=0若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠0且a≠1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+nan
∴aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1
∴(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1=
∴Sn=
当a=0时,此式也成立。
∴Sn=
解析:
数列是由数列与对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种情况进行讨论,最后再综合成两种情况。
4.证明:
设…………………………..①
把①式右边倒转过来得
(反序)
又由可得
…………..……..②
①+②得(反序相加)
∴
5.解:
∵=)
Sn=
=
6.解:
设S2002=
由可得
……
∵(找特殊性质项)
∴ S2002=(合并求和)
=
=
=5
7.
n
解:
因为55…5=
所以Sn=5+55+555+…+55…5
根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。
另外:
Sn=
可以拆成:
Sn=(1+2+3+…+n)+()
8.∵为等差数列,且1+17=5+13,
∴.由题设易知=117.
又为与的等差中项,∴.
9.(裂项)
于是有
方程组两边相加,即得
10.【证明】∵∴.
化简,得Sn-1-Sn=2SnSn-1
两边同除以.SnSn-1,得
∴数列是以为首项,2为公差的等差数列.
∴∴
11.∵∴此数列为递增等比数列.故q≠1.
依题设,有
②÷
①,得④
④代入①,得⑤
⑤代入③,得⑥
④代入⑥,得,再代入③,得a1=2,再代入⑤,得q=3.
12.令(裂项)
故有=.
13.设等差数列的公差为d,则(I)
∵∴
解得
代入(I)得(II)
∵
∴数列是首项为-2,公差为的等差数列,∴
14.解:
Sn=
15.当为正奇数时,
当为正偶数时,
综上知,注意按的奇偶性讨论!
16.
17.解:
因为
所以
18.解:
(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,
于是(a2-)2-a2(a2-)-a2=0,解得a1=.
(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
即 Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.
由①可得S3=.
由此猜想Sn=,n=1,2,3,….
下面用数学归纳法证明这个结论.
(i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=对所有正整数n都成立.
于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1时,a1==,所以
{an}的通项公式an=,n=1,2,3,….
19.解:
∵(找通项及特征)
(设制分组)
(裂项)
∴(分组、裂项求和)
20.解:
原式=
=
21.解:
设
将其每一项拆开再重新组合得
当时,=
当时,=
22.解:
∴=
将其每一项拆开再重新组合得
23.证明:
①+②得(反序相加)
24.解:
设………….①
将①式右边反序得
……②(反序)
又
∴
25.
26.
27.注意:
数列的第n项“n·
1”不是数列的通项公式,记这个数列为,
∴其通项公式是
28.为等比数列,∴应运用错位求和方法:
29.
而运用反序求和方法是比较好的想法,
①,
②,
①+②得
30.
(1)
(2)是公差为9的等差数列,
(3)
31.
①当n为偶数时
②当n为奇数时
32.(I)①,而②,
①—②得
的等差数列,
(II)
33.
(1)
(2)当
①
②当时,1)当n为奇数时
2)当n为偶数时
34.当
而
①
①-②得
35.(I)
(II)
(III)
36.(I)
37.解析:
因为,
,
。