实变函数与泛函分析课程教学大纲Word文档格式.docx

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信息与计算科学专业本科

考核方式：

考试，平时成绩30％，期末成绩70％

先修课程：

数学分析和高等代数

二、课程简介

中文简介：

实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。

它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。

泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。

英文简介：

RealvariableanalysisAndFunctionalanalysisisatheoreticalcourseofmathematicswhichcanbeusedinvariablefieldssuchasengineeringandtechnology,physics,chemical,biology,economicandotherfields.TheeducationalaiminthiscourseistodeveloptheabilitiesofstudentsinanalyzingandsolvingpracticalproblembythespecialwaysofRealvariableanalysisAndFunctionalanalysis’thinkingandreasoning.

三、课程性质与教学目的

本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。

本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。

本课程要求如下：

1.理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。

2.了解可测函数的概念，构造，以及函数列的收敛性质。

3.了解Lebesgue积分的概念，掌握收敛定理。

4.理解赋范线性空间和内积空间的相关知识点。

5.理解线性算子理论和有界线性泛函理论，了解三个基本定理。

四、教学内容及要求

第一章集合与测度

（一）目的与要求

1．使学生认识集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合，度量空间的概念和度量空间中的点集，直线上的测度和可测集，Lebesgue测度及相关理论；

2．本章要求学生了解集族的交并关系，了解度量空间的概念和测度及可测集的概念。

（二）教学内容

第一节集合与映射

1．主要内容

集族的交并关系，映射及其性质，集的对等。

2．基本概念和知识点

集族的交并关系，映射，集的对等，可数集合。

3．问题与应用（能力要求）

了解集族的交并关系，理解映射，集的对等，可数集合。

第二节度量空间

　　度量空间的概念，度量空间中的点集。

　　度量空间，收敛性，度量空间的拓扑。

理解度量空间的概念，理解度量空间的拓扑（包括了有关概念）。

第三节Lebesgue可测集

直线上点集的构造，Cantor三分集，Lebesgue可测集及测度的相关性质。

构造区间，Cantor三分集，Lebesgue可测集，型集和型集。

了解直线上点集的构造区间，熟悉Cantor三分集，了解Lebesgue可测集，型集和型集。

（三）课后练习作业和思考题：

第一节课后练习P19之1，2，3，6，8。

第二节课后练习P20之9，11，13，14，16，17；

抄题18—28。

第三节课后练习P20之2932，36，37；

抄题36，37。

（四）教学方法与手段

本章教学主要采用课堂讲授的方法。

第二章可测函数

（一）目的与要求

要让学生理解简单函数和可测函数，了解可测函数的性质和构造，了解可测函数列的极限。

（二）教学内容

第一节简单函数与可测函数

简单函数，简单函数的表示和运算，可测函数，可测函数的判定。

简单函数，可测函数。

了解简单函数及其表示和运算，理解可测函数的概念。

第二节可测函数的性质

1．主要内容

可测函数的运算，可测函数的构造，Lusin定理。

2．基本概念和知识点

3．问题与应用（能力要求）

了解可测函数的运算，了解可测函数的构造，理解Lusin定理。

第三节可测函数列的收敛性

1．主要内容

Egoroff定理，依测度收敛概念，Lebesgue定理，Riesz定理。

2．基本概念和知识点

3．问题与应用（能力要求）

了解三个定理和依测度收敛的概念。

（三）课后练习作业和思考题：

第一节课后练习P38之2，3，6；

抄题

第二节课后练习P38之7；

抄题10，12，13，14。

第三节课后练习P38之23；

抄题25，26，27。

（四）教学方法与手段

第三章Lebesgue积分

1．本章介绍Lebesgue积分的概念与性质，积分收敛定理，Lebesgue积分与Riemann积分的关系，积分与微分，Fubini定理；

2．要求学生理解Lebesgue积分的概念与性质，掌握Fubini定理。

第一节Lebesgue积分的概念与性质

逐步讲解了可测函数的积分，区分有积分和可积性，讲解了积分的性质。

有积分和可积性，积分的性质。

了解积分的定义，了解积分的性质。

第二节积分收敛定理

Levi定理，Fatou定理，逐项积分定理，Lebesgue控制收敛定理。

理解四个定理的作用。

第三节Lebesgue积分与Riemann积分的关系

定理3.21和定理3.22，给出了Riemann可积的充要条件。

定理3.21和定理3.22。

了解定理3.21和定理3.22的内容。

第四节积分与微分

讲解有界变差函数和绝对连续函数及相互关系。

有界变差函数，绝对连续函数。

了解有界变差函数和它的表示，理解绝对连续函数的作用。

第五节Fubini定理

讲解重积分交换积分次序的Fubini定理。

Fubini定理。

了解L及其上的测度，了解重积分和交换积分次序的Fubini定理。

第一节课后练习P68之1，2，3；

抄题5，6。

第二节课后练习P69之10，11；

抄题7，8，9。

第三节课后练习P69之12；

第四节课后练习P69之18；

抄题19，24，26。

第五节课后练习P69之；

（四）教学方法与手段

第四章线性赋范空间

本章介绍线性赋范空间的各有关知识和概念，包括收敛性，完备性，列紧性，不动点定理和拓扑空间简介。

第一节线性空间

介绍了线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。

线性空间，基和维数，子空间和凸集，空间的同构。

认识无穷维空间和凸集。

第二节线性赋范空间

范数，距离，Hö

lder不等式和Minkowski不等式。

范数，距离，例，Hö

理解线性空间的范数，距离，掌握Hö

第三节线性赋范空间中的收敛

讲解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。

收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。

3．问题与应用（能力要求）

理解收敛点列，等价范数，连续映射，稠密性和可分空间。

第四节空间的完备性

讲解Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性和赋范线性空间的完备化。

Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性，赋范线性空间的完备化。

理解Cauchy列，Banach空间，子空间的完备性，掌握赋范线性空间的完备化和嵌入过程。

第五节列紧性与有限维空间

讲解列紧的概念和性质，有限维空间的特征和Riesz引理。

列紧性，Riesz引理。

理解集的列紧性，掌握Riesz引理。

第六节不动点定理

讲解Banach压缩映像原理，Brouwer不动点定理，Schauder不动点定理。

Banach压缩映像原理，Brouwer不动点定理，Schauder不动点定理。

理解Banach压缩映像原理，了解Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其应用。

第七节拓扑空间简介

讲解开集，闭集，邻域，拓扑。

开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。

理解开集，闭集，邻域，拓扑，极限点。

第一节课后练习P95之1；

第二节课后练习P95之2；

第三节课后练习P95之4；

第四节课后练习P95之3；

第五节课后练习P95之8；

第六节课后练习P95之10；

第七节课后练习

第五章内积空间

1．本章讲解内积空间与Hilbert空间，正交与正交补，正交分解定理，内积空间中的Fourier级数；

2．要求学生理解内积和内积空间的定义，理解Hilbert空间，了解正交与正交补，了解正交分解定理，了解内积空间中的Fourier级数。

第一节内