全国通用届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五学案Word文件下载.docx

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∴e＝＝＝＝＝.

故选A.

3．（2017·

全国Ⅰ）已知F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为（　　）

A．16B．14C．12D．10

解析　因为F为y2＝4x的焦点，

所以F（1,0）．

由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k（x－1），y＝－（x－1）．

由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.

显然，该方程必有两个不等实根．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1，

所以|AB|＝·

|x1－x2|

＝·

＝.

同理可得|DE|＝4（1＋k2）．

所以|AB|＋|DE|＝＋4（1＋k2）

＝4

＝8＋4≥8＋4×

2＝16，

当且仅当k2＝，即k＝±

1时，取得等号．

4．（2017·

北京）若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.

答案　2

解析　由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，

故双曲线的离心率e＝＝＝，

∴1＋m＝3，解得m＝2.

5．（2017·

山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．

答案　y＝±

x

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，

显然，方程必有两个不等实根．

∴y1＋y2＝.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，

∴y1＋＋y2＋＝4×

，即y1＋y2＝p，

∴＝p，即＝，∴＝，

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x.

题型一　求圆锥曲线的标准方程

例1　（2018·

佛山模拟）设椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋y2＝1D.＋y2＝1

解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，

∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.

思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

跟踪训练1　已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2,0），且双曲线的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－y2＝1D．x2－＝1

答案　D

解析　双曲线－＝1的一个焦点为F（2,0），

则a2＋b2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

由题意得＝，②

联立①②解得b＝，a＝1，

所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.

题型二　圆锥曲线的几何性质

例2　

（1）（2018届辽宁凌源二中联考）已知圆E：

（x－3）2＋（y＋m－4）2＝1（m∈R），当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C：

0）的离心率，则双曲线C的渐近线为（　　）

A．y＝±

2xB．y＝±

C．y＝±

xD．y＝±

答案　C

解析　圆E的圆心到原点的距离d＝，

由此可得，当m＝4时，圆E上的点与原点O的最短距离是dmin＝3－1＝2，即双曲线的离心率为e＝＝2，

由此可得＝＝，

双曲线C：

0）的渐近线为y＝±

x＝±

x.故选C.

（2）（2016·

天津）设抛物线（t为参数，p>

0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．

答案　

解析　由（p>

0）消去t可得抛物线方程为y2＝2px（p>

0），

∴F，

又|CF|＝2|AF|且|CF|＝＝3p，

∴|AB|＝|AF|＝p，

可得A（p，p）．

易知△AEB∽△FEC，

∴＝＝，

故S△ACE＝S△ACF＝×

3p×

p×

＝p2＝3，

∴p2＝6，∵p>

0，∴p＝.

思维升华圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

跟踪训练2　（2017·

全国Ⅱ）若双曲线C：

0）的一条渐近线被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）

A．2B.C.D.

解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

圆的圆心为（2,0），半径为2，

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.

根据点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝＝＝＝2.

题型三　最值、范围问题

例3　（2017·

浙江）如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P（x，y），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|PA|·

|PQ|的最大值．

解　

（1）由P（x，y），即P（x，x2）．

设直线AP的斜率为k，则k＝＝x－，

因为－＜x＜.

所以直线AP斜率的取值范围为（－1,1）．

（2）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ＝.

因为|PA|＝＝（k＋1），

|PQ|＝（xQ－x）＝－，

所以|PA|·

|PQ|＝－（k－1）（k＋1）3，

令f（k）＝－（k－1）（k＋1）3，

因为f′（k）＝－（4k－2）（k＋1）2，

所以f（k）在区间上单调递增，上单调递减．因此当k＝时，|PA|·

|PQ|取得最大值.

思维升华圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：

一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；

二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围．

跟踪训练3　（2016·

山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

0）的离心率是，抛物线E：

x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

①求证：

点M在定直线上；

②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

（1）解　由题意知＝，可得a2＝4b2，因为抛物线E的焦点为F，所以b＝，a＝1，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.

（2）①证明　设P（m>

0），由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为y－＝m（x－m）．

即y＝mx－.

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．

联立方程

得（4m2＋1）x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ>

0，得0<

m<

（或0<

m2<

2＋）．（*）

且x1＋x2＝，因此x0＝，将其代入y＝mx－，得y0＝，因为＝－，

所以直线OD方程为y＝－x，

联立方程得点M的纵坐标yM＝－，

所以点M在定直线y＝－上．

②解　由①知直线l的方程为y＝mx－，

令x＝0，得y＝－，所以G，

又P，F，D，

所以S1＝·

|GF|·

m＝，

S2＝·

|PM|·

|m－x0|＝×

×

＝，

所以＝.

设t＝2m2＋1，则＝＝

＝－＋＋2，

当＝，即t＝2时，取到最大值，

此时m＝，满足（*）式，所以P点坐标为.

因此的最大值为，此时点P的坐标为.

题型四　定点、定值问题

例4　（2017·

益阳、湘潭调研）已知动圆P经过点N（1,0），并且与圆M：

（x＋1）2＋y2＝16相切．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设G（m,0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值，并求出该定值．

解　

（1）由题设得|PM|＋|PN|＝4>

|MN|＝2，

∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，

∵2a＝4,2c＝2，∴b＝＝，

∴点P的轨迹C的方程为＋＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m,0）（－2<

2），

直线l：

y＝k（x－m），

由

得（3＋4k2）x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，

x1＋x2＝，x1·

x2＝，

∴y1＋y2＝k（x1－m）＋k（x2－m）

＝k（x1＋x2）－2km＝－.

y1·

y2＝k2（x1－m）（x2－m）

＝k2x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2

∴|GA|2＋|GB|2＝（x1－m）2＋y＋（x2－m）2＋y

＝（x1＋x2）2－2x1x2－2m（x1＋x2）＋2m2＋（y1＋y2）2－2y1y2

＝（k2＋1）.

∵ω＝|GA|2＋|GB|2的值与m无关，∴4k2－3＝0，

解得k＝±

.此时ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.

思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

跟踪训练4　已知椭圆C：

9x2＋y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：

直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？

若能，求此时l的斜率；

若不能，说明理由．

（1）证明　设直线l：

y＝kx＋b（k≠0，b≠0），

A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．

将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2，

得（k2＋9）x2＋2kbx＋b2－m2＝0，①

故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·

k＝－9.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（2）解　四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线l过点，由①中判别式Δ＝4k2b2－4（k2＋9）·

（b2－m2）>

0，得k2m2>

9b2－9m2，

又b＝m－m，所以k2m2>

92－9m2，

得k2>

k2－6k，所以k>

0.

所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.

由

（1）得OM的方程为y＝－x.

设点P的横坐标为xP，

由得x＝，即xP＝.

将点的坐标代入l的方程得b＝，

因此xM＝.

四边形OAPB为平行四边