届北师大版文科数学 导数的应用第二课时导数与函数的单调性 单元测试文档格式.docx

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∵2x2＞2，∴a≤2.故选D.

D

3．若幂函数f（x）的图象过点，则函数g（x）＝exf（x）的单调递减区间为（　　）

A．（－∞，0）B．（－∞，－2）

C．（－2，－1）D．（－2,0）

设幂函数f（x）＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f（x）＝x2，故g（x）＝exx2，令g′（x）＝exx2＋2exx＝ex（x2＋2x）＜0，得－2＜x＜0，故函数g（x）的单调递减区间为（－2,0）．

4．（2017届河北石家庄市高三9月摸底）若函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）

A.B．

C.D．[2，＋∞）

f′（x）＝x2－ax＋1，

函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间上单调递减⇔f′（x）＝x2－ax＋1≤0在区间上恒成立⇔解之得a≥.故选C.

5．函数f（x）＝x3－ax是R上的增函数的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≤0B．a＜0

C．a≥0D．a＞0

函数f（x）＝x3－ax为R上的增函数的一个充分不必要条件是f′（x）＝3x2－a＞0在R上恒成立，所以a＜（3x2）min，因为（3x2）min＝0，所以a＜0.故选B.

B

6．（2017届贵阳市监测考试）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－3）f′（x）≤0，则必有（　　）

A．f（0）＋f（6）≤2f（3）

B．f（0）＋f（6）＜2f（3）

C．f（0）＋f（6）≥2f（3）

D．f（0）＋f（6）＞2f（3）

由题意知，当x≥3时，f′（x）≤0，所以函数f（x）在[3，＋∞）上单调递减或为常数函数；

当x＜3时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在（－∞，3）上单调递增或为常数函数，所以f（0）≤f（3），f（6）≤f（3），所以f（0）＋f（6）≤2f（3），故选A.

A

7．设函数f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（　　）

A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）

C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0

因为函数f（x）＝ex＋x－2在R上单调递增，且f（0）＝1－2＜0，f

（1）＝e－1＞0，所以f（a）＝0时a∈（0,1）．又g（x）＝lnx＋x2－3在（0，＋∞）上单调递增，且g

（1）＝－2＜0，

所以g（a）＜0.由g

（2）＝ln2＋1＞0，g（b）＝0得b∈（1,2），又f

（1）＝e－1＞0，

所以f（b）＞0.综上可知，g（a）＜0＜f（b）．

8．定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）>

f（x）恒成立，则有（　　）

A．f（－5）>

f（－3）B．f（－5）<

f（－3）

C．3f（－5）>

5f（－3）D．3f（－5）<

5f（－3）

设g（x）＝，

则g′（x）＝>

0，

∴g（x）在R上单调递增，

∴g（－5）<

g（－3），

即＞，

∴3f（－5）<

5f（－3），故选C.

9.已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，若A，B为钝角三角形的两个锐角，则一定成立的是（　　）

A．f（sinA）>

f（cosB）

B．f（sinA）<

C．f（sinA）>

f（sinB）

D．f（cosA）<

∵A，B是钝角三角形两锐角，

∴A＋B<

，0<

A<

B<

，

∴0<

－B<

又∵y＝sinx在内单调递增，

sinA<

sin＝cosB<

1，

由导函数图象可知y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴f（sinA）<

f（cosB），故选B.

10．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间为_______________________．

函数f（x）＝（x－3）ex的导数为f′（x）＝[（x－3）ex]′＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，此时由不等式f′（x）＝（x－2）ex＞0，解得x＞2.所以所求函数的单调递增区间为（2，＋∞）．

（2，＋∞）

11．函数f（x）＝x2－ax－3在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

f′（x）＝2x－a，

∵f（x）在（1，＋∞）上是增函数，

∴2x－a≥0在（1，＋∞）上恒成立．

即a≤2x，∴a≤2.

所以实数a的取值范围是（－∞，2]．

（－∞，2]

12．已知函数f（x）＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

由题意知f′（x）＝－x＋4－＝＝－，

由f′（x）＝0得函数f（x）的两个极值点为1,3，

则只要这两个极值点有一个在区间（t，t＋1）内，

函数f（x）在区间[t，t＋1]上就不单调，

由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.

（0,1）∪（2,3）

13．（2018届福建省莆田市第二十四中月考）设函数f（x）＝ex－ax－2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＝1，为整数，且当x>

0时，（x－）f′（x）＋x＋1>

0，求的最大值．

解：

（1）函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝ex－a，

若a≤0，则f′（x）>

0，f（x）在R上单调递增；

若a>

0，则f′（x）＝0，解得x＝lna，

所以f（x）的单调递减区间是（－∞，lna），增区间为（lna，＋∞）．

（2）由于a＝1，所以（x－）f′（x）＋x＋1＝（x－）（ex－1）＋x＋1，

故当x>

0等价于<

＋x，

令g（x）＝＋x，则g′（x）＝，

而函数f（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）上单调递增，f

（1）<

0，f

（2）>

所以f（x）在（0，＋∞）上有唯一的零点，故g′（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点，

设此零点为a，则a∈（1,2），

当x∈（0，a）时，g′（x）<

0，当x∈（a，＋∞）时，

g′（x）>

所以g（x）在（0，＋∞）的最小值为g（a），

又因为g′（a）＝0，可得ea＝a＋2，所以g（a）＝a＋1∈（2,3），

所以<

g（a），所以整数的最大值为2.

14．已知函数f（x）＝，a∈R.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在（1,2）上是单调函数，求a的取值范围．

（1）f（x）的定义域为{x|x≠a}，f′（x）＝.

①当a＝0时，f（x）＝x（x≠0），f′（x）＝1，

则x∈（－∞，0）和（0，＋∞）时，f（x）为增函数．

②当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＞2a或x＜0，

由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x＜0时，f（x）为增函数；

由f′（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a时，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f（x）为减函数．

③当a＜0时，由f′（x）＞0得，x＞0或x＜2a，

由于此时2a＜a＜0，

所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数；

由f′（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a时，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f（x）为减函数．

综上，当a＝0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（0，＋∞）．

当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2a，＋∞），单调递减区间为（0，a），（a,2a）．

当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（－∞，2a），（0，＋∞），单调递减区间为（2a，a），（a,0）．

（2）①当a≤0时，由

（1）可得，f（x）在（1,2）上单调递增，且x∈（1,2）时，x≠a.

②当0＜2a≤1时，即0＜a≤时，由

（1）可得，f（x）在（2a，＋∞）上单调递增，即在（1,2）上单调递增，且x∈（1,2）时，x≠a.

③当1＜2a＜2时，即＜a＜1时，由

（1）可得，f（x）在（1,2）上不具有单调性，不合题意．

④当2a≥2，即a≥1时，由

（1）可得，f（x）在（0，a），（a,2a）上为减函数，同时需注意a∉（1,2），满足这样的条件时f（x）在（1,2）上单调递减，所以此时a＝1或a≥2.

综上所述，a的取值范围是∪{1}∪[2，＋∞）．

[能力提升]

1．若b＞a＞3，f（x）＝，则下列各结论中正确的是（　　）

A．f（a）＜f（）＜f

B．f（）＜f＜f（b）

C．f（）＜f＜f（a）

D．f（b）＜f＜f（）

因为f（x）＝，所以f′（x）＝，

令f′（x）＝0，解得x＝e.

当x>

e时，f′（x）＜0，为减函数，

当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数．

因为b＞a＞3＞e.

所以ab＞b＞＞＞a＞e，

所以f（a）＞f（）＞f＞f（b）＞f（ab）．故选D.

2．设函数f（x）＝sin2x＋acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）

A．[－1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

f（x）＝sin2x＋acosx在（0，π）上是增函数，

所以f′（x）＝cos2x－asinx≥0在（0，π）上恒成立，

所以1－2sin2x－asinx≥0，

设t＝sinx，t∈（0,1]，即－2t2－at＋1≥0，t∈（0,1]时恒成立，

所以a≤－2t＋.

令g（t）＝－2t＋，则g′（t）＝－2－＜0，

所以g（t）在（0,1]上单调递减，所以a≤g

（1）＝－1，

故选B.

3．（2017年江苏卷）已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是________．

∵f′（x）＝3x2－2＋ex＋e－x≥0，

∴f（x）在定义域内为单调递增函数，

又f（－x）＝－x3＋2x＋－ex＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

∵f（a－1）＋f（2a2）≤0，

∴f（a－1）≤－f（2a2），即f（a－1）≤f（－2a2）．

又∵f（x）为单调递增函数，∴a－1≤－2a2，

即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，

∴实数a的取值范围是.

4．（2018届辽宁省葫芦岛第六高级中期中）已知函数f（x）＝－ax2＋lnx（a∈R）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若存在x∈（1，＋∞），f（x）>

－a，求a的取值范围．

（1）f′（x）＝－2ax＋＝，

当a≤0时，f′（x）>

0，所以f（x）在（0，＋∞）上递增，

当a>

0时，令f′（x）＝0，得x＝，

令f′（x）