161高考中的导数综合应用Word格式文档下载.docx

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第一课时　利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题

热点一　利用导数研究函数的单调性

例1　已知函数f（x）＝ax3＋x2（a∈R）在x＝－处取得极值．

（1）确定a的值；

（2）若g（x）＝f（x）ex，讨论g（x）的单调性．

利用导数研究函数单调性的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求函数f′（x）；

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数f（x）的定义域内解（或证明）不等式f′（x）>

0或f′（x）<

0.②若已知函数的单调性求参数，只需转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间内恒成立的问题求解．解题过程中要注意分类讨论；

函数单调性问题以及一些相关的逆向问题，都离不开分类讨论思想．

　已知函数f（x）＝mlnx＋x2－（m＋1）x＋ln（2e2）（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）．

（1）当m＝－1时，求函数f（x）在点P（2，f

（2））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

热点二　利用导数研究函数的极值与最值

例2　已知函数f（x）＝ex－ax－a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

（1）当a＝e时，求函数f（x）的极值；

（2）当0≤a≤1时，求证f（x）≥0.

1．利用导数研究函数的极值与最值的一般思路和步骤

（1）求定义域；

（2）求导数f′（x）；

（3）解方程f′（x）＝0，研究极值情况；

（4）确定f′（x0）＝0时x0左右的符号，定极值．

2．求函数y＝f（x）在[a，b]上最大值与最小值的步骤

（1）求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

　已知函数f（x）＝e1－x（2ax－a2）（其中a≠0）．

（1）若函数f（x）在（2，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围；

（2）设函数f（x）的最大值为g（a），当a>

0时，求g（a）的最大值．

热点三　利用导数解决函数的实际问题

例3　某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝（其中a，b为常数）模型．

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？

求出最短长度．

利用导数解决优化问题的五个步骤

（1）审题设未知数；

（2）结合题意列出函数关系式；

（3）确定函数的定义域；

（4）在定义域内求极值；

（5）下结论.

　2014年1月，山东“两会”在省城济南召开，会上“人大代表”和“政协委员”就当前的“雾霾”发表自己的看法．某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k>

0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b（a>

0，b>

0），它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x（km）．

（1）试将y表示为x的函数；

（2）若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．

课题6　利用导数研究函数的极值最值问题

设函数f（x）＝（a∈R）．

（1）若f（x）在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在[3，＋∞）上为减函数，求a的取值范围．

利用导数求函数在某一区间上的极值最值的模型示意图如下：

1．设a∈R，函数f（x）＝x2e1－x－a（x－1）．当a＝1时，求f（x）在内的极大值．

2．已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋，x≥0，其中a>

0.

（1）若f（x）在x＝1处取得极值，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

　1．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

2．已知函数f（x）＝（x2－ax＋a）ex－x2，a∈R.

（1）若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求a的取值范围；

（2）若函数f（x）在x＝0处取得极小值，求a的取值范围．

3．设函数f（x）＝.

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）当x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．

4．已知函数f（x）＝ln（x＋1）－－x，a∈R.

（1）当a>

0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若存在x>

0，使f（x）＋x＋1<

－（a∈Z）成立，求a的最小值．

5．已知函数f（x）＝ex－ax（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若a＝1，函数g（x）＝（x－m）f（x）－ex＋x2＋x在（2，＋∞）上为增函数，求实数m的取值范围．

6．已知函数f（x）＝－ex（a＞0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在[1,2]上的最大值；

（3）若存在x1，x2（x1＜x2），使得f（x1）＝f（x2）＝0，证明：

＜ae.