matlab符号积分和微分等等Word格式文档下载.docx
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一、符号对象
1、创建符号变量和符号矩阵
2、符号表达式的基本运算函数
3、符号表达式的化简函数
4、符号表达式的替换函数
二、符号微积分
1、符号极限
2、符号求导
3、符号积分
4、积分变换
三、符号方程求解
1、代数方程
2、符号微分方程求解
四、级数
1、级数的符号求和
2、函数的泰勒级数
10’
5’
教学后记
作业
内容
备 注
MATLAB的符号数学工具箱提供了两个sym和syms基本函数，用来创建符号变量和符号矩阵。
●函数sym的调用格式为：
符号变量名=sym（‘表达式’）
说明：
函数sym可创建一个符号变量，表达式可以是字符、字符串、数学表达式或字符表达式等。
●函数syms的调用格式：
syms符号变量名1符号变量名2符号变量名3…
函数syms可一次创建多个符号变量。
例6.25创建符号变量。
>
a=sym（'
matlab'
）
a=
matlab
b=sym（'
3*x^2+4*x+7'
b=
3*x^2+4*x+7
在工作空间浏览器上可以看到A、B、C三个符号变量。
使用sym函数和syms函数也可以创建符号矩阵。
符号矩阵是一个数组，它的元素是符号表达式。
MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别；
否则，这些符号表达式几乎完全像基本的MATLAB命令。
例6.26创建符号矩阵。
e=[135;
246;
7911];
%建立数值矩阵
m=sym（e）%创建符号矩阵
m=
[1,3,5]
[2,4,6]
[7,9,11]
在命令窗口的显示中，数值矩阵只显示元素的数值，而符号矩阵的每行元素放在一对方括号内；
在工作空间窗口显示的变量图标两者也不同，数值矩阵的图标为，符号矩阵（也称为符号对象）的图标为，二者很容易区分。
符号表达式的运算与普通数值运算的方式不同，它的运算结果是符号表达式或符号矩阵。
在MATLAB运算中，浮点运算速度最快，而符号计算占用时间和内存都比较多，但它的计算结果最精确。
在默认情况下，当用函数sym生成符号变量后，MATLAB将对这些变量进行符号计算。
在MATLAB符号计算工具箱中提供来了很多函数用于符号计算。
下面将介绍一些常用的符号运算函数，如表6-6所示。
表6-6常用的符号函数
函数格式
说明
symadd（S1，S2）
符号表达式S1加上符号表达式S2
symsub（S1，S2）
符号表达式S1减去符号表达式S2
symmul（S1，S2）
符号表达式S1乘上符号表达式S2
symdiv（S1，S2）
符号表达式S1除符号表达式S2
sympow（S，p）
符号表达式S1的p次幂，p可以是表达式
例6.27计算表达式x3-1与表达式x-1的和、差、积、商和乘方。
symsx
s1=x^3-1;
s2=x-1;
symadd（s1,s2）
ans=
x^3-2+x
symsub（s1,s2）
x^3-x
symmul（s1,s2）
（x^3-1）*（x-1）
>
symdiv（s1,s2）
（x^3-1）/（x-1）
sympow（s1,s2）
（x^3-1）^（x-1）
符号数学工具箱提供了符号表达式的因式分解、展开、合并、化简、通分等函数，见表6-7所示。
表6-7符号表达式的化简函数
collect（s，x）
合并自变量x的同幂系数
simple（s）
寻找表达式的最简型
expand（s）
符号表达式s的展开
simplify（s）
符号表达式的化简
factor（s）
因式分解
radsimp（s）
对含根式的表达式s化简
numden（s）
符号表达式s的分式通分
horner（s）
符号表达式s的嵌套形式
例6.28对表达式进行因式分解。
symsx%在命令窗口创建符号变量x
f=factor（x^3-1）
f=
（x-1）*（x^2+x+1）
例6.29展开三角表达式sin（a+b）。
s=sym（'
sin（a+b）'
）;
%用sym函数创建符号变量
expand（s）
ans=
sin（a）*cos（b）+cos（a）*sin（b）
例6.30化简分式（4x2+8x+3）/（2x+1）。
s=（4*x^2+8*x+3）/（2*x+1）;
simplify（s）
2*x+3
MATLAB的符号数学工具箱提供了两个符号表达式的替换函数subexpr和subs，可以通过符号替换使表达式的输出形式化简，得到一个简单的表达式。
●函数Subexpr的调用格式为：
[R，SYM]=subexpr（S，SYM）
此函数用变量SYM（字符或字符串）的值代替符号表达式S中重复出现的字符串，R是返回替换后的结果。
●函数subs的调用格式：
R=subs（S，old，new）
该函数是用新的符号变量new替换原来符号表达式S中的变量old，R是替换后的符号表达式。
需要注意的，当变量new是数值形式时，显示的结果虽然是数值，但它事实上是符号变量。
要强制地求值需要用vpa函数。
例6.31求表达式在x=1时的代数值。
clear
clc
s=（3*x^3+x^2-1）/（x^2+1）;
r=subs（s,'
x'
'
1'
r=
（3*
（1）^3+
（1）^2-1）/（
（1）^2+1）
vpa（r）%强制求值
1.5000000000000000000000000000000
极限是微积分的基础，在MATLAB中，极限的求解是由limit函数实现的，其主要格式如表6-8所示。
表6-8符号极限的函数格式
limit（s）
s为符号表达式。
在系统默认表达式中的自变量趋向于0时的极限。
limit（s，a）
a为常数。
计算符号表达式s中由默认自变量趋向于a条件下的极限。
limit（s，x，a）
计算符号表达式s在x趋向于a条件下的极限。
limit（s，x，a，‘right’）
计算符号表达式s在x趋向于a条件下的右极限
limit（F，x，a，‘left’）
计算符号表达式s在x趋向于a条件下左的极限
例6.32分别计算表达式、、、和。
先在命令窗口创建符号变量a和x，再分别计算上面各表达式的极限。
symsxa;
limit（1/x,x,0,'
right'
inf
left'
）
-inf
limit（sin（x）/x）
1
limit（（1+1/x）^x,x,inf,'
exp
（1）
limit（exp（-x）,x,0,'
在符号数学工具箱中，表达式的导数由函数diff实现,其调用格式为:
diff（s，x，n）
其中s为符号表达式，x为自变量，n为求导的阶数。
例6.33分别计算表达式x5的一阶导数和三阶导数。
diff（x^5）
5*x^4
diff（x^5,3）
60*x^2
积分算法是非结构性的，许多函数的原函数存在，但不可用有限解析式表达式表示，即使可以求积分的函数，其求积分过程也可能很复杂，但利用MATLAB求积分就非常容易。
在MATLAB的符号数学工具箱中，表达式的积分由函数int实现，该函数可求不定积分和定积分，其调用格式如表6-9所示。
表6-9符号积分的函数格式
int（s）
求符号表达式s对于默认自变量的不定积分。
int（s，x）
求符号表达式s对于自变量x的不定积分
int（s，a，b）
求符号表达式s对于默认自变量从a到b的定积分。
int（s，x，a，b）
求符号表达式s对于自变量x从a到b的定积分。
例6.34分别计算下列表达式的积分：
（1）
（2）（3）（4）
在命令窗口创建符号变量x和y，分别计算上面各表达式的积分。
symsxy
s=（4-3*x^2）^2;
int（s）
9/5*x^5-8*x^3+16*x
int（x/（x+y）,x）
x-y*log（x+y）
int（x/（x+y）,y）
x*log（x+y）
int（x^2/（x+2）,x,1,3）
4*log（5）-4*log（3）
double（ans）
2.0433
积分变换就是通过积分运算把一个函数f（原函数）变成另外一个函数F（像函数）。
变化的过程是：
其中二元函数称为变换的核，变换的核决定了变换的不同名称。
在一定的条件下原函数和像函数之间是一一对应的，可以相互转化。
积分变换的意义是换一个角度来认识函数，积分变换的一项基本应用是解微分方程，求解过程是基于这样一种想法：
假如不容易从原方程直接求得解f，则对原方程进行变换，如果能从变换后的方程中求得解F，则对F进行逆变换，即可求得原方程的解f，当然，在选择变换的核时，应该使得变换以后的方程比原方程容易求解。
MATLAB提供的变换函数如表6-10所示。
表6-10常用的积分变换函数
函数名称
傅立叶变换
fourier（fx，x，t）
Fx为函数f（x）的符号表达式、x为自变量、t像函数F（t）的自变量。
结果为函数f（x）的傅立叶像函数F（t）
ifourier（Fw，t，x）
Fw为函数F（t）的符号表达式、t为自变量、x为原函数f（x）的自变量。
结果为函数F（t）的傅立叶原函数f（x）
拉普拉斯变换
laplace（fx，x，t）
结果为函数f（x）的拉普拉斯像函数F（t）
ilaplace（Fw，t，x）
结果为函数F（t）的拉普拉斯原函数f（x）
Z变换
ztrans（fx，x，t）
结果为函数f（x）的Z变换像函数F（t）
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