届一轮复习人教A版43简单的三角恒等变换学案Word文件下载.docx
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4.备考重点：
（1）掌握和差倍半的三角函数公式；
（2）掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
【知识清单】
1.两角和与差的三角函数公式的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C（α－β）：
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C（α＋β）：
cos（α＋β）＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
S（α＋β）：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
S（α－β）：
sin（α－β）＝sin_αcos_β－cosαsinβ；
T（α＋β）：
tan（α＋β）＝；
T（α－β）：
tan（α－β）＝.
变形公式：
tanα±
tanβ＝tan（α±
β）（1∓tanαtanβ）；
.
函数f（α）＝acosα＋bsinα（a，b为常数），可以化为f（α）＝sin（α＋φ）或f（α）＝cos（α－φ），其中φ可由a，b的值唯一确定．
对点练习：
【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于（）
A.7B.C.1D.0
【答案】A
本题选择A选项.
2.二倍角公式的运用公式的应用
二倍角的正弦、余弦、正切公式：
S2α：
sin2α＝2sin_αcos_α；
C2α：
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α：
tan2α＝.
cos2α＝，sin2α＝
1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2,1－sin2α＝（sinα－cosα）2
【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】
（Ⅰ）2；
（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．
【解析】
（Ⅱ）由与得
所以的最小正周期是
由正弦函数的性质得
解得
所以的单调递增区间是．
【考点深度剖析】
对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．
【重点难点突破】
考点1两角和与差的三角函数公式的应用
【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】故选D.
【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：
，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．
【解析】设射线OB与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C点坐标为.
【1-3】已知：
，，且，则=_______.
【解析】，
【领悟技法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·
（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多种变形等．
2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
提醒：
在T（α＋β）与T（α－β）中，α，β，α±
β都不等于kπ＋（k∈Z），即保证tanα，tanβ，tan（α＋β）都有意义；
若α，β中有一角是kπ＋（k∈Z），可利用诱导公式化简．
【触类旁通】
【变式一】已知均为锐角，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
∴．
【变式二】已知函数的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数）的解析式，并写出的单调减区间；
（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.
（Ⅰ）由图象最高点得A=1，
由周期.
当时，，可得，
因为，所以．
.
由图象可得的单调减区间为.
考点2二倍角公式的运用公式的应用
【2-1】【2017浙江ZDB联盟一模】已知，，则__________，__________．
【答案】
【解析】因为，，所以
因为，所以，因此.
【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为．
【2-3】已知，且，则的值为__________.
【解析】因为，所以，，，又因为，所以.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【变式一】已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
【变式二】已知，，则的值为（）
A．B．C．D．
【解析】由二倍角公式得，整理得，
因此，由于，，，
，故答案为A．
考点3三角恒等式的证明
【3-1】求证：
＝sin2α.
【解析】∵左边＝＝＝＝
＝cosαsincos＝sinαcosα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
【3-2】求证：
＝－2cos（α＋β）.
【3-3】已知，，且，.
证明：
【解析】，即，
，
又，，
，，，
1.三角恒等式的证明主要有两种类型：
绝对恒等式与条件恒等式．
（1）证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．
（2）条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．
（3）变角：
目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：
通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
2.变换技巧：
（1）拆角、拼角技巧：
2α＝（α＋β）＋（α－β）；
β＝－；
＝.
（3）化简技巧：
切化弦、“1”的代换等
【变式一】求证：
【解析】左边＝＋
故原式得证．
【变式二】已知，证明：
【解析】左边
右边.
故原命题成立.
考点4三角函数的综合应用
【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数，其中θ∈，则导数f′
（1）的取值范围是________．
【答案】[，2]
【4-2】【2017浙江温州二模】已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值.
（1）；
（2）.
【解析】试题解析：
（1）
∴函数的最小正周期是
（2）∴，
，∴，又.
∴∴，
∴.
【4-3】【2018江苏海安上学期第一次测试】已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
（1）;
（2）当时，取到最大值3；
当时，取到最小值..
【解析】试题分析：
（1）依据题设条件建立方程分析求解；
（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：
解：
（1）因为，，，
所以.
若，则，与矛盾，故.
于是.
又，所以.
【领悟技法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．
【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点,与x轴交于点B,C,且的面积为．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若,求的值.
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
试题解析：
（Ⅰ）因为,
所以周期，，
由,得,
因为,所以,
所以；
（Ⅱ）由,得,
【易错试题常警惕】
易错典例：
若sinθ，cosθ是关于x的方程5x2－x＋a＝0（a是常数）的两根，θ∈（0，π），求cos2θ的值．
易错分析：
不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．
正确解析：
由题意知：
sinθ＋cosθ＝，
温馨提醒：
求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:
"
数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数"
与"
形"
反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"
以形助数"
或"
以数解形"
即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】在平面坐标系中，直线与圆相交于,（在第一象限）两个不同的点，且则的值是（）
A．B．C．D．
∴．
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