高中数学11集合的含义与表示备课资料新人教A版必修1Word格式文档下载.docx

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0,b<

0.

若a>

0,则有y==3;

若a<

0,则有y==-1.

∴y=的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.

【例2】定义A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M.

分析:

应用集合A-B={x|x∈A,xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.

答案：

{6}.

（设计者：

张新军）

设计方案

（二）

教学过程

导入新课

思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:

一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?

这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课题.

思路2.开场白:

集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>

5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？

（提问学生）圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?

（1）1~20以内的所有质数;

（2）我国古代的四大发明;

（3）所有的安理会常任理事国;

（4）所有的正方形;

（5）北京大学xx年9月入学的全体学生.

活动：

教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.

引导过程:

①一般地,指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）,集合中的每个对象叫做这个集合的元素.

②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.

③集合的表示法:

a.自然语言（5个实例）;

b.字母表示法.

④集合元素的性质:

a.确定性:

即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:

这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;

b.互异性:

一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;

c.无序性:

集合中的元素是没有顺序的.

⑤集合相等:

如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.

⑥元素与集合的关系:

“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.

元素确定性的符号语言表述为:

对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么aA.

⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织（ISO）制定了常用数集的记法:

自然数集（包含零）:

N,正整数集:

N*（N+）,整数集:

Z,有理数集:

Q,实数集:

R.

因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.

（1）请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.

（2）你能写出不等式2-x>

3的所有解吗？

怎样表示这个不等式的解集？

学生回答后,教师指出:

①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={0,1,2,3,4}.

②描述法:

将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来,写成{x|p（x）}的形式.其中x为元素的一般特征,p（x）为x满足的条件.如数集常用{x|p（x）}表示,点集常用{（x,y）|p（x,y）}表示.

应用示例

思路1

1.课本第3页例1.

用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.

点评：

本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;

列举法表示集合的步骤:

（1）用字母表示集合;

（2）明确集合中的元素;

（3）把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.

变式训练

请试一试用列举法表示下列集合:

（1）A={x∈N|且∈N};

（2）B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};

（3）C={（x,y）|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.

本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.

（1）集合A中元素x满足均为自然数;

（2）集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;

（3）集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.

（1）A={0,6,8};

（2）B={2,5,6};

（3）C={（0,6）,（1,5）,（2,2）}.

2.课本第4页例2.

本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.

本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;

描述法表示集合的步骤:

（1）用字母分别表示集合和元素,

（2）用数学符号表达集合元素的共同特征;

（3）在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;

描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.

课本P5练习2.

思路2

1.下列所给对象不能构成集合的是（）

A.一个平面内的所有点

B.所有大于零的正数

C.某校高一（4）班的高个子学生

D.某一天到商场买过货物的顾客

本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;

在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;

C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;

而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.

C

下列各组对象中不能构成集合的是（）

A.高一

（1）班全体女生

B.高一

（1）班全体学生家长

C.高一

（1）班开设的所有课程

D.高一

（1）班身高较高的男同学

判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;

而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”,则能构成集合.

D

2.用另一种形式表示下列集合:

（1）{绝对值不大于3的整数};

（2）{所有被3整除的数};

（3）{x|x=|x|,x∈Z且x<

5};

（4）{x|（3x-5）（x+2）（x2+3）=0,x∈Z};

（5）{（x,y）|x+y=6,x>

0,y>

0,x∈Z,y∈Z}.

用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.

（1）{绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.

（2）{x|x=3n,n∈Z}.

（3）∵x=|x|,∴x≥0.

又∵x∈Z且x<

5,

∴{x|x=|x|,x∈Z且x<

5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.

（4）{-2}.

（5）{（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）}.

用适当的形式表示下列集合:

（1）绝对值不大于3的整数组成的集合;

（2）所有被3整除的数组成的集合;

（3）方程（3x-5）（x+2）（x2+3）=0实数解组成的集合;

（4）一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.

元素较少的有限集宜采用列举法;

对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.

（1）{x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};

（2）{x|x=3n,n∈Z};

（3）{,-2};

（4）{（x,y）|y=x+6}.

3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的取值范围.

对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.

当a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;

当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a≠0且a≤.

综上所得a的取值范围是{a|a≤}.

4.用适当的方法表示下列集合:

（1）方程组的解集;

（2）1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;

（3）直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;

（4）所有正方形;

（5）直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.

本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2.故

（1）宜用列举法;

（2）中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;

（3）和（5）也宜用描述法;

而（4）则宜用列举法为好.

（1）{（4,-2）};

（2）{x|x=3k+2,k∈N且x<

1000};

（3）{（x,y）|x<

0且y>

0};

（4）{正方形};

（5）{（x,y）|x<

-1或x>

１}.

知能训练

课本P5练习1、2.

拓展提升

1.已知A={x∈R|x=,abc≠0},用列举法表示集合A.

解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.

题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:

（1）a、b、c全为正时,x=7;

（2）a、b、c两正一负时,x=-1;

（3）a、b、c一正两负时,x=-1;

（4）a、b、c全为负时,x=-1.

∴A={7,-1}.

注意：

（2）、（3）中又包括多种情况（a、b、c各自的正负情况）,解题时应考虑全面.

2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.

（1）若A={0,1,2,3},B={6,7,