第37招 构造法Word文档下载推荐.docx

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类型五：

已知，一般利用倒数构造等差数列求数列的通项.

类型六：

已知，一般利用取对数构造等比数列.

【方法讲评】

类型一

构造法一

使用情景

已知

解题步骤

一般利用待定系数法构造等比数列求通项.

【例1】已知数列{}满足=1，=（），求数列{}的通项公式.

【点评】

（1）已知，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为

（2）注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确.

【反馈检测1】已知数列{}中，=2，=，求{}的通项公式.

类型二

构造法二

已知数列

【例2】已知数列满足，求数列的通项公式.

由及⑨式，得

则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则.

【点评】本题解题的关键是把递推关系式转化为，其中要用到待定系数法，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式.学科#网

【反馈检测2】在数列{}中，，=6，求通项公式.

类型三

构造法三

一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项.

【例3】已知数列满足，求数列的通项公式.

（1）本题的一个关键是先要把变成,这样才便于后面构造数列,否则不方便构造.

（2）换元之后原等式变成，即型，又可以利用前面的构造方法构造一个等比数列求数列通项.

【反馈检测3】已知数列满足，，求数列的通项公式.

【例4】已知数列满足，，求数列的通项公式.

（1）本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式.

（2）已知，有时可以构造等比数列，有时可以构造等差数列，本题是构造等比数列，此时的系数和指数函数的底数相同.

【反馈检测4】数列{}满足且.

求、、；

是否存在一个实数，使此数列为等差数列？

若存在求出的值及；

若不存在，说明理由.

类型四

构造法四

【例5】数列中，，求数列的通项公式.

【解析】

比较系数得

若取

（1）递推式为时，可以设，其待定系数求出，从而得到一个等比数列.

（2）这种特征的构造一般要结合其它方法才能得出结果.此题就结合了累差法.

【反馈检测5】在数列{}中，，当，①求通项公式.

类型五

构造法五

一般利用倒数构造等差数列求数列的通项.

【例6】已知数列满足求数列的通项公式.

【解析】取倒数

∴

（1）形如递推式，考虑函数倒数关系有

型.

（2）对于形如

的也可以在方程的两边同时除以，再构造等差数列.学科#网

【反馈检测6】已知数列{}中，其中，且当时，，求通项公式.

类型六

构造法六

一般利用取对数构造等比数列.

【例7】若数列{}中，=3且（是正整数），求它的通项公式是.

【反馈检测7】已知数列满足，，求数列的通项公式.

【反馈检测8】设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有,,.（e是自然对数的底数，e=2.71828……）

（1）求数列、的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？

若

存在，求出的值；

若不存在，请说明理由.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第37讲：

数列通项的求法二（构造法）参考答案

【反馈检测1答案】=

【反馈检测2答案】

【反馈检测2详细解析】①式可化为：

②

比较系数可得：

=-6，，②式为

是一个等比数列，首项，公比为.∴

即故.

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】在原等式两边同除以，得

【反馈检测4答案】

（1）=5；

（2）=.

【反馈检测5答案】

【反馈检测5详细解析】①式可化为：

比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.

∴.利用上题结果有：

.

【反馈检测6答案】

【反馈检测6详细解析】将两边取倒数得：

，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.

【反馈检测7答案】

【变式演练7详细解析】因为，所以.在式两边取常用对数得①

设②

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则.

【反馈检测8答案】

（1），；

（2）；

（3）时，原

不等式恒成立.学科#网

（2）由

（1）知，，

所以，③

，④

由③-④得，

所以.（3）

由，得，

由可得，

即使得对于任意且，不等式恒成立等价于使得对于任意且，不等式恒成立.

.

（或用导数求在上的最大值.）

解得,所以当时，取最小值，最小值为,

所以时，原不等式恒成立.