八年级数学下册 66 关注三角形的外角教案 北师大版Word文档格式.docx

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［师］很好，下面大家来共同证明：

三角形的内角和定理.

已知，如图6－56，△ABC.

求证：

∠A+∠B+∠C=180°

证明：

作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA.

则：

∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

（1平角=180°

）

∴∠ACB+∠A+∠B=180°

（等量代换）

［师］好，在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角.

那三角形的外角有什么性质呢？

我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.

设计意图：

复习三角形内角和定理的证明方法，为本节课学生打好理论基础，进而引入新课．

二、师生互动，探究新知

［师］那什么叫三角形的外角呢？

像∠ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

外角的特征有三条：

（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：

∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点.

（2）一条边是三角形的一边.如：

∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边.

（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：

∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线.

把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：

一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.

下面大家来想一想、议一议（出示投影片§

6.6A）

如图6－57，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？

能证明你的结论吗？

［生甲］∠1与∠4组成一个平角.所以∠1+∠4=180°

［生乙］∠1=∠2+∠3.因为：

∠1与∠4的和是180°

而∠2、∠3、∠4是△ABC的三个内角.则∠2+∠3+∠4=180°

.所以∠2+∠3=180°

－∠4.而∠1=180°

－∠4,因此可得：

∠1=∠2+∠3.

［生丙］因为∠1=∠2+∠3，所以由和大于任何一个加数，可得：

∠1>

∠2,∠1>

∠3.

［师］很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？

［生丁］三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.

［生戊］不对，如图6－58.

图6－58

（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：

△ACB是钝角三角形.∠ACB>

∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.

图6－58

（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.

由上述可知：

丁同学归纳的结论是错误的.应该说：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.

［师］噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？

［生］同意.

［师］是三角形的任一个外角都有此结论吗？

［生］是的.

［师］很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片§

6.6B）

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

［师］这两个结论是由什么推导出来的呢？

［生］通过三角形的内角和定理推出来的.

［师］对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.

注意：

应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：

“和它不相邻”的意义.

下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片§

6.6C）

［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：

AD∥BC.

［师生共析］要证明AD∥BC.只需证明“同位角相等”即：

需证明：

∠DAE=∠B.

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C

∴∠B=∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）

［师］同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？

［生甲］这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

∠B=∠C（已知）

∴∠C=∠EAC（等式的性质）

∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

［生乙］还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

∵∠B+∠BAC+∠C=180°

（三角形的内角和定理）

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°

即：

∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

［师］同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.

现在大家来想一想：

若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？

（出示投影片§

6.6D）

［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.

∠2.

［师生共析］一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.

∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>

∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠3是△CDE的一个外角（已知）

∴∠3>

∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∠2（不等式的性质）

［师］很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考，新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

三、学以致用，知识反馈

1.已知，如图6－61，在△ABC中，外角∠DCA=100°

∠A=45°

求∠B和∠ACB的度数.

解：

∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠DCA=100°

（已知）

∴∠B=∠DCA－∠A=100°

－45°

=55°

（等式的性质）

∵∠DCA+∠ACB=180°

∴∠ACB=180°

－∠DCA（等式的性质）

∵∠DCA=100°

∴∠ACB=80°

2.如图，求证：

（1）∠BDC>

∠A.

（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

证法一：

（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∠2>

∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1+∠2>

∠3+∠4（不等式的性质）

∠BDC>

∠BAC.

（2）连结AD，并延长AD，如图.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：

∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

证法二：

（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.

则∠BDC是△CDE的一个外角.

∴∠BDC>

∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC>

∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∠A（不等式的性质）

（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.

∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠DEC是△ABE的一个外角

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）

让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．让学生应用本节课所学的知识解决相关的问题，查找掌握不牢固的地方，进一步突出本节课的重点并加以巩固．

四、巩固提升，归纳总结

本节课你有哪些收获（知识方面和操作方面）？

在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?

你是否想到最优的方法？

在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？

你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？

（学生分组进行讨论、交流，总结本节课学习的主要内容及收获）

学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感受，并对同伴进行评价．

五、达标检测，反馈矫正

1．如图，已知AB∥CD,∠1=∠F，∠2=∠E，试猜想AF与DE的位置关系，并证明你的结论．

2．已知，如图，∠B，∠C的外角平分线交于点D，若∠A=40°

，则∠D是多少度？

你能将它一般化吗？

试证明你的结论．

3．如图，在中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D.求证：

∠ACD>

∠B．

通过检测巩固当堂知识并准确的掌握学生的课堂学习效果，以方便课下有针对性的做好辅导．

六、布置作业，课后促学

必做题：

课本第244页习题6．7第1、2题．

选做题：

课本第244页习题6．7第3、4题．

通过不同层次的作业，让每一名学生都得到充分的提高，达到巩固新课知识，提高实际应用能力的目的．

板书设计：

6.6关注三角形的外角

引入

例1

例2

教学反思：

教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。

本节课的教学设计力图具有以下几个特色：

充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；

从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；

在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。

中国书法艺术说课教案

今天我要说课的题目是中国书法艺术，