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D.90°

17.如图9,已知∠1=∠2,AB=AC.

求证:

BD=CD

(要求:

写出证明过程中的重要依据)

23.如图13-1、图13-2分别是两个相同正方形、正六边形,其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处.

⑴求图13-1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比;

⑵求图13-2中,重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案);

⑶根据前面探索和图13-3,你能否将本题推广到一般的正n边形情况,(n为大于2的偶数)?

若能,写出推广问题和结论;

若不能,请说明理由.

25.如图14-1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线

AC上),∠ACB=90°

,M为AB边中点.

操作:

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM,连结DE.

探究:

⑴请猜想与线段DE有关的三个结论;

⑵请你利用图14-2,图14-3选择不同位置的点P按上述方法操作;

⑶经历⑵之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;

如果你认为你写的结论是错误的,请用图14-2或图14-3加以说明;

(注意:

错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)

⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图14-4操作,并写出与线

段DE有关的结论(直接写答案).

26.如图15,点P(-m,m2)抛物线:

y=x2上一点,将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F,抛物线F的顶点为B,抛物线F交抛物线E于点A,点C是x轴上点B左侧一动点,点D是射线AB上一点,且∠ACD=∠POM.问△ACD能否为等腰三角形?

若能,求点C的坐标;

说明:

⑴如果你反复探索,没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写3步);

⑵在你完成⑴之后,可以从①、②中选取一个条件,完成解答(选取①得7分;

选取②得10分).

①m=1;

②m=2.

附加题:

如图16,若将26题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y=-m2上点N左侧一动点”,其他条件不变,探究26题中的问题.

复习策略:

1.课时:

4课时基础复习:

1课时中档题:

2课时相似与位似:

1课时

2.知识网络和知识点题型化

比如:

(一)知识点回顾:

(1)全等三角形的性质_____________

(2)全等三角形的识别方法

(二)知识点题型化

(1)如图

(1)F、C在线段BE上且∠DFE=∠ACB,BC=EF,使△ABC≌△DEF,需补充的一个条件是__________。

(2)如图

(2)在△AOB与△COD中,AC、BD交于点O,AB∥CD,OA=OC,则△AOB≌_______,理由__________。

(3)在横线上填一个适当的条件,使得命题是真命题,如图(3),若∠B=∠C,

_____________则△ABD≌△ACE.

(4)能确定△ABC与△A´

全等的是()

A、AC=A´

BC=B´

∠B=∠B´

B、AC=A´

∠A=∠A´

C、AC=C´

D、∠A=∠A´

∠C=∠C´

(5)如图(4),D在AB上,E在AC上且´

∠B=∠C那么补充一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是()

A、AD=AEB、∠AEB=∠ADCC、BE=CDD、AB=AC

(4)

(3)

(2)

(1)

3.重视书写规范,应该说这是初中几何逻辑推理表达的最初级最佳训练内容。

4.抓基本图形

5.重视实际应用问题、情境问题和现实结合

巧用三角形全等侧距离

1、一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事:

在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望,为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离。

在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一个战士想出来这样一个办法:

他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;

然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上;

接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离。

(1)按这个战士的方法,找出教室或操场上与你距离相等的两个点,并通过测量加以验证。

(2)你能解释其中的道理吗?

2、如图1,是一个正方形的门窗,在装修房屋时,为了把它设计成美观大方的图案,设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形,使其面积和等于正方形的面积,请你按要求在正方形中画出你的设计图形。

图1     图2      图3     图4 

6.重能力提升

近年来,围绕全等三角形的知识,出现了许多能力考查题,主要有:

一.补充条件型

例1.如图1边上的高,且,请你补充条件_________________(只需填写一个你认为适当的条件)

图1

二.探索结论

例2.如图2,相交于E,请写出由这些条件可得的结论(不再添加辅助线,不再标注其他字母,不写推理过程)。

图2

三.构造真命题

例3.如图3,在△ABC和△A´

中,分别是AB边和边上的中线,再从以下三个条件:

(1);

(3)中任取两个为题设,另一个为结论,则最多可以构成___________个正确的命题。

图3

四.说明理由

例4.如图4,D是等边内一点,且BD=AD,BP=AB,,问的度数是否一定的,若是,求出它的度数,若不是,说明理由。

图4

7.从变换角度想辅助线引法

如图:

正△ABC操作:

延长BA到D,延长BC到E,使AD=BE,连结DC、DE。

△DCE的形状,并给出证明。

方法一:

延长BE到M使BM=BD连结MD,可证

△BCD≌△MED(SAS)

方法二:

过A点作AF∥BC,且使AF=BE,连结EF、DF

则可证等边△ADF,平行四边行ABEF,再证明△ACD≌△FED.

方法三:

延长CA到F,使AF=AD,连结DF,则可证等边

三角形ADF,再证△CFD≌△DBE

方法四:

过点E作EF∥CA交BD于点F,则可证等边△BEF,

再证△DAC≌△EFD

方法五:

将△DAC以DA为对称轴翻折得△DAF,连接FE、FB,则可证△DAF≌△EFB

方法六:

将△DAC绕点C逆时针旋转60度得△FBC,连接DF,则可证△DBE≌△DBF

8.精心选题:

初中九年级上P106第一题:

1、如图:

AB=DE,AC∥DF,BC∥EF,△ABC与△DEF全等吗?

拓展1

将△DEF经过怎样的变换可得到△ABC?

拓展2

如图,△ABC绕C点旋转30°

到△A´

的 

位置。

(1)旋转角度是____,旋转方向_____.

(2)找出图中与∠BCB´

相等的角_______.

(3)你能确定AB与A´

的夹角吗?

拓展3

在拓展2问题中的三角形ABC继续旋转,使B点落在AB上成为B′。

(1)找出图中相等线段。

(2)∠B和哪些角相等?

(3)与∠BCB′相等的角有几个?

拓展4

若△ABC中,∠ACB=90°

操作:

把△ABC绕C点顺时针旋转到△A´

的位置,旋转度数为α(0°

<

α<

90°

),A´

交直线CA于点D。

若BC=6,AC=8,在旋转过程中,△A´

CD能否为等腰三角形?

若可能,求出△A´

CD是等腰三角形时CD的值。

拓展5

如图,△ABC中,∠ACB=90°

,AC=BC=1,△ABC绕点C逆时针旋转角∠BCB´

(0°

∠BCB´

)得到△A´

C,连接BB´

,设CB´

交AB于点D。

(1)当△BB´

D是等腰三角形时,求∠BCB´

(2)当∠BCB´

=60°

时,求BD的长。

拓展6

如图,直角三角形ABC,AB=AC=5cm,,∠ABO=α度,B点坐标(0,4)。

(1)求A、C两点坐标。

y

(2)三角板ABC绕B点顺时针旋转2α度成为△A´

,求C´

点坐标。

O

A

C

B

x

拓展7

如图14,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点在第二象限内,点,点在轴的负半轴上,.

(1)求点的坐标;

(2)如图15,将绕点按顺时针方向旋转到的位置,其中交直线于点,分别交直线于点,则除外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案;

(不再另外添加辅助线)

(3)在

(2)的基础上,将绕点按顺时针方向继续旋转,当的面积为时,求直线的函数表达式.

图14

9.注重纠错:

1.强调对应

策略:

图形认识与强化,设置题目陷阱。

2.在一个三角形中找三角形全等。

3.SSA的错误应使学生思维不朝着这个错误方向发展。

4.错把HL当成边角边定理使用。

5.当引辅助线或识别全等三角形能力不足。

四、数学思想

1、分类讨论思想

(1)已知圆A和圆B相切,两圆的圆心距为8cm,圆A的半径为3cm,则圆B的半径是()

A.5cmB.11cmC.3cmD.5cm或11cm

(2)如图:

在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,设P、Q分别是BD、BC上的动点,在点P自点D沿DB方向做匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,移动的速度均为1cm/s,设P、Q移动的时间为t(0<t≤4)

D

P

Q

①写出△PBQ的面积S(C㎡)与时间t(s)之间的函数表达式,当t为何值时,S有最大值?

最大值是多少?

②当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?

③△PBQ能否为等边三角形?

若能,求t的值;

若不能,说明理由。

2、数形结合思想

①如图,已知最大正三角形的面积是1,依次连接各边中点得三角形,利用这个图形计算:

②在数学活动中,小丽为了求的值(结果用n表示)。

设计如图所示的几何图形。

Ⅰ请你利用这个几何图形求出A的值为_____

Ⅱ请你利用图Ⅱ,再设计一个能求A值的几何图形。

3、转化与化归思想

(1)如图,扇形OAB的半径为10cm,∠AOB=90°

,分别以OA、OB为直径作半圆,两半圆交于点C,则图中阴影部分的面积为_________cm.

(2)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法,如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:

C′

B′

a

c

b

D′

4、函数思想

(1)如图,两块完全重合的正方形纸片,如果上面的一块绕正方形的中心O作0°

-90°

的旋转,那么旋转时露出的△ABC的面积(S)随着旋转角度(n)的变化而变化,下面表示S与n的关系的图象大致是

S

n

(2)已知△ABC,∠BAC=90°

AB=AC=4,BD

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