大一高数基础练习题Word文档格式.docx

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所以由介值定理知至少存在，使。

因为，且在上连续，在内可导，由罗尔定理存在，使。

2、证明不等式：

当时，。

证明，，

，则当时，

四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）

1．要建造一个体积为的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？

解设圆柱体的半径为，高，表面积为,，

，，表面积最小。

2．求曲线，直线，及轴所围成的图形绕轴旋转一周所得到的旋转体体积。

《高等数学》（理工）

一、选择题（每空3分，共15分）

1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ 

）；

、；

、

、。

2、设函数在处连续,则（ 

、；

、；

、、

3、设在上可导，且若，则下列说法正确的是（ 

、在上单调减少；

、在上单调增加；

、在上为凹函数；

、在上为凸函数。

4、下列不定积分计算正确的是（ 

、；

5、设在上连续，则下列论断不正确的是（ 

）。

、是的一个原函数；

.、在内是的一个原函数.；

、在内是的一个原函数；

、在上可积。

二、填空题（每空3分，共15分）

6、若则 

7、曲线在点的切线方程为：

________；

8、曲线在内的拐点为；

9、当满足条件__________时,反常积分收敛；

；

10、微分方程的阶数是_________.；

三、计算题（共45分）

11、求下列函数极限（每题6分，共12分）：

（1）

（2）

12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：

（1）设函数,求；

（2）设函数由方程所确定，求；

解，将代入得 

13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：

（3）

四、证明题（每小题8分，共16分）

14、证明：

设

证明设，

则，

15、设在上连续，在上可导，且，求证在内至少存在一点使得成立.

证明设在上连续，在上可导，且，y由罗尔中值定理得，即有

五、应用题（共9分）

16、求曲线与过该曲线上的点的切线及轴所围成的图形的面积

解，，切线方程，

高等数学（上）

一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）

1、函数的定义域为（）；

、且；

B、、；

、且。

2、（）；

B、不存在；

、1；

、0。

3、按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（）；

、（）；

、（）；

、（）；

4、设要使在处连续，则（）；

、2；

、1；

、0；

、-1

5、设函数在内恒有，则曲线在内（）；

、单调上升，向上凸；

、单调下降，向上凸；

、单调上升，向上凹；

、单调下降，向上凹。

6、设，则方程在实数范围内根的个数是（）；

、4；

、3；

、2；

、1。

7、设，则（）；

、；

、。

8、设函数在上是连续的，下列等式中正确的是（）；

。

9、当时，与为等价无穷小，则=（）；

、1；

-2。

10、已知，，，则（）；

、1；

、2；

、3；

、4。

二、填空题（本题共10分，每空2分）

1、设则。

2、极限；

3、设，则。

4、函数的不连续点为。

5、设，则。

三、计算题

1.（8分）求

2、（7分）

3、（7分）设求。

，，

4、（8分）设。

解设，两边同时求导得

5、（7分）

6、（7分）

7、（8分）令，，

四、综合题

1、（9分）求由曲线所围平面图形绕轴旋转的旋转体的体积。

2、（9分）证明方程只有一个正根.

证明设函数在连续，，

令，为单调递增函数，

又，由零点定理可知在只存在一点在，使在，则方程只有一个正根。

理工《高等数学》

一、填空题（本题共15分，每小题3分）

1.函数的连续区间是

2.若，，均为常数，则，

，；

3.设函数由方程所确定，则曲线在点（1，1）处的切线方程是，，

4.设，则.

5.设在可导，则　　　　　　

二.求下列各题极限（共28分）

1.

2.

3.

4.

三．计算题（共32分）

5.设，求.

6.设，求.

7.求由参数方程所确定的函数的导数,.

8..

解方程两边同时求导得，

四．综合题（共27分）

9.求常数的值，使函数在处一阶可导.

，，；

，。

10.求函数的所有间断点，并指出其类型.

，，，

11.设为连续函数，求

一、填空题（每空3分，共15分）

1、已知的定义域是，则函数的定义域为________；

2、________；

3、积分与的大小关系是________；

4、 

.；

解

又时为曲线的拐点。

5、设，则.。

二、选择题（每空3分，共15分）

1、曲线在（0,0）点的切线斜率是（）；

、1；

、；

、0；

、-1。

2、设，则当时，有（）；

、与是等价无穷小；

、与是同阶但非等价无穷小；

、是比高阶的无穷小；

、是比低阶无穷小。

3、设函数在上具有连续的导函数，且，（）；

4、下列积分发散的有（）；

、.；

5、设能使极限式成立，则（）。

A.；

三、计算下列各题（共52分）

1、（7分）已知，求的导数。

3、（7分）已知参数方程：

，（），求所确定的函数的二阶导数。

解：

（）

4、（7分）已知,,求.

解:

令,

则,.

5、（8分）计算不定积分.

解：

=

=.

6、（8分）计算定积分.

令则且当时,当时

7、求由曲线与直线围成的曲边梯形绕轴旋转所成的旋转体的体积．（8分）

四、证明题（每小题9分，共18分）

1、（9分）当时，.

证：

令,

当时，在内单调增加.而

即当时，

2、（9分）设函数和在上存在二阶导数，且

，证明

（1）在（a,b）内；

（2）在（a,b）内至少存在一点，使.

（1）反证法.设内存在一点使，则在上有,由罗尔定理知在内至少存在一点，使，同理在内也至少存在一点使，则，∴由罗尔定理，在内至少存在一点使，这与矛盾，故在内。

（2）令

由题设条件可知，在上连续，在内可导，且,由罗尔定理可知，存在使得，即，

由于，故。

一、填空题（每空3分，共24分）

1、要使在处连续，则______；

5；

2、设的一个原函数为，则 

3、设，则__________；

4、函数是当时的_同阶_无穷小量。

（填等价，同阶或高阶）。

5、___________；

0；

6、若，则_____，________；

7、函数的单调增加区间为____________。

二、求极限（每小题5分，共10分）。

1、（5分）

2、（5分）

三、求导数（每小题6分，共18分）。

1、（6分）求由方程所确定的隐函数的一阶导数和。

方程两边同时对x求导，得，整理得，

2、（6分）设函数的参数方程为，求，。

3、（6分）已知，求。

方程两边取对数，得

两边同时对x求导，得

四、求积分（每小题5分，共20分）。

1、（5分）计算

2、（5分）计算；

令，则，

原式=

3、（5分）计算。

令，则，当，

原式

4、（5分）计算

五、证明题（每小题8分，共16分）

1、（8分）证明不等式：

当时，。

证明：

设，

当时，

单调增加，，即，得证。

2、（8分）若在[0，1]上有二阶导数，且，

证明在（0，1）内至少存在一点，使得。

在[0，1]上有二阶导数，则在[0，1]上有二阶导数，，由罗尔定理，在（0，1）至少存在一点，使得，，，由罗尔定理，在内至少存在一点，使得。

六、应用题（12分）在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：

（1）切点的坐标；

（2）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。

（1）设切点的坐标为，则过点的切线斜率为，于是切线方程为，和x轴交点为，由，

得，因此切点坐标为）。

切线方程，

（2）=

或