数学建模人口增长模型_精品文档文档格式.doc

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我国人口发展经历了多个阶段，近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在

二、相关数据：

附件1《国家人口发展战略研究报告》

附件2人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明根据已有数据

三、要解决的问题：

1、试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附件2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；

特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

2、利用所建立模型的预测结果，参照附件1的相关叙述对反映中国人口增长特点的一系列指标如人口老龄化、人口抚养比等进行分析预测。

3、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和管理进行分析。

2、问题分析

人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。

为了更好的解决此问题，我们分析了题目以及附录1中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。

一、从附件1中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。

因而，我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型Ⅰ：

阻滞增长模型。

二、模型Ⅰ只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。

但实际中在对人口进行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。

在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。

为了讨论不同年龄段的人口分布对人口增长的影响，我们依据附件2建立了模型Ⅱ：

按年龄分布的Leslie模型。

三、由模型Ⅰ和模型Ⅱ的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由模型Ⅱ的计算结果我们还能够得到各年份处在各年龄段的人口数量、男女比率的预测值。

根据这些预测值我们可以计算出反映人口增长特点的其他指标，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。

3、合理的假设

1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争不随时间而变化

2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算

3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变

4、不考虑移民对人口总数的影响

4、名词解释与符号说明

一、名词解释

1、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。

2、更替水平——指这样一个生育水平，同一批妇女生育女儿的数量恰好能替代她们本身。

一旦达到生育更替水平，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有国际迁入与迁出的情况下，人口将最终停止增长，保持稳定状态。

3、人口抚养比——指人口总体中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。

通常用百分比表示。

说明每100名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。

用于从人口角度反映人口与经济发展的基本关系。

根据劳动年龄人口的两种不同定义（15-59岁人口或15-64岁人口），计算总抚养有两种方式

4、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。

促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。

一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。

5、出生人口性别比——是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。

正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。

二、符号说明

序号

符号

意义

1：

表示年份（选定初始年份的）

2

人口增长率

3：

人口数量

4：

自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量

5：

可决系数

6：

在时间段第年龄组的人口总数

7：

第年龄组的生育率

8：

第年龄组的死亡率

9：

第年龄组的存活率

10：

Leslie矩阵

11：

2001年全国人口总数

12：

2001年城市总人口

13：

2001年镇总人口

14：

2001年乡总人口

15：

2001年第年龄段的人口总数

16：

时分别表示市、镇、乡的女孩出生率

17：

时段具有劳动能力的人口

18：

社会的抚养比指数

19:

总和生育率

20：

时段年龄组中女性所占的百分比

5、模型的建立与求解

阻滞增长模型（Logistic模型）[1]

一、模型的准备

阻滞增长模型的原理：

阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。

若将表示为的函数。

则它应是减函数。

于是有：

（1）

对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即

（2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入

（2）式得，于是

（2）式为

（3）

将（3）代入方程

（1）得：

（4）

解方程（4）可得：

（5）

二、模型的建立

为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国经济统计数据库（http:

//211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。

表1各年份全国总人口数（单位：

千万）

年份

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

1961

1962

总人口

60.2

61.5

62.8

64.6

66.0

67.2

66.2

65.9

67.3

1963

1964

1965

1966

1967

1968

1969

1970

1971

69.1

70.4

72.5

74.5

76.3

78.5

80.7

83.0

85.2

1972

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

87.1

89.2

90.9

92.4

93.7

95.0

96.259

97.5

98.705

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

100.1

101.654

103.008

104.357

105.851

107.5

109.3

111.026

112.704

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

114.333

115.823

117.171

118.517

119.850

121.121

122.389

123.626

124.761

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

125.786

126.743

127.627

128.453

129.227

129.988

130.756

1、将1954年看成初始时刻即，则1955为，以次类推，以2005年为作为终时刻。

用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：

由可决系数来看拟合的效果比较理想。

所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：

（6）

根据曲线（6）我们可以对2010年（）、2020年（）、及2033年（）

进行预测得（单位：

千万）：

结果分析：

从附录1所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；

因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。

1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。

总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，

由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。

因此我们再选择1963年作为初始年份对表1中的数据进行