专题21+正弦定理和余弦定理押题专练高考数学理一轮复习精品资料整理版Word文件下载.docx

专题21+正弦定理和余弦定理押题专练高考数学理一轮复习精品资料整理版Word文件下载.docx

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坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

【必会结论】

1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．

2．“方位角”与“方向角”的区别：

方位角大小的范围是[0,2π），方向角大小的范围是.

高频考点一考查测量距离

例1、如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°

，∠BCD＝30°

，∠BDC＝105°

，∠ADC＝60°

，试求AB的长．

的距离为AB＝＝a.

【举一反三】如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸（不知道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：

∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．

【解析】第一步：

在△AEF中，利用正弦定理，

【方法技巧】求距离问题时要注意

（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；

若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

【变式探究】

隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°

，∠BCD＝45°

，∠ADC＝30°

，∠ADB＝45°

（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离．

【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°

，

∠CAD＝∠ADC＝30°

.所以AC＝CD＝.

在△BCD中，∠BCD＝45°

，∠BDC＝75°

，∠CBD＝60°

，由正弦定理知BC＝＝.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cos∠ACB＝（）2＋2－2×

×

cos75°

＝3＋2＋－＝5，所以AB＝km，

所以A，B两目标之间的距离为km.

高频考点二考查高度问题

例2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°

的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°

的方向上，仰角为30°

，则此山的高度CD＝________m.

【答案】100

【举一反三】如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°

，测得湖中之影的俯角为45°

，则云距湖面的高度为（精确到0.1m）（）

A．2.7mB．17.3m

C．37.3mD．373m

【答案】C

【方法技巧】求解高度问题首先应分清

（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；

（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；

（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．

【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°

，再由点C沿北偏东15°

方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°

，则塔AB的高是________米．

【答案】10

【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°

，∠BCD＝15°

＋90°

＝105°

，∠DBC＝30°

，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°

＝，AB＝BCtan60°

＝10.

高频考点三考查角度问题

例3、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°

方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°

方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°

＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.

【举一反三】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°

，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°

的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.

【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项

（1）首先应明确方位角或方向角的含义．

（2）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．

（3）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

【变式探究】如图，位于A处的信息中心获悉：

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°

，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·

AC·

cos120°

＝2800⇒BC＝20.

高频考点四考查函数思想在解三角形中的应用

例4、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°

且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解

（1）设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s＝

＝＝.

故当t＝时，smin＝10，v＝＝30（海里/小时）．

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（2）设小艇与轮船在B处相遇．则v2t2＝400＋900t22·

20·

30t·

cos（90°

－30°

），

【方法技巧】解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力.

【举一反三】如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

【解析】作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，

∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，

由余弦定理得（vt）2＝52＋（50t）2－2×

5×

50t×

即v2＝－＋2500＝＝252＋900≥900，

∴当t＝时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝＝公里．

故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．

【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力。

解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以为整体构造二次函数，求最值。

【变式探究】如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．

【答案】6

【解析】过C作CF⊥AB于点F，设∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知得AB＝－＝5（米），BF＝－

1.（2018年全国III卷）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则

A.B.C.D.

【解析】由题可知，所以

由余弦定理，所以

，，故选C.

2.（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°

，则sinB=___________，c=___________．

【答案】

（1）.

（2）.3

【解析】由正弦定理得,所以

由余弦定理得（负值舍去）.

3.（2018年全国I卷）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

【答案】

4.（2018年天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos（B–）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A–B）的值．

（Ⅰ）B=；

（Ⅱ）b=，

【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．

由，可得．因为a<

c，故．因此，

所以，

【2016高考四川文科】

（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.

（I）证明：

；

（II）若，求.

（Ⅰ）证明详见解析；

（Ⅱ）4.

故tanB==4.

1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知，a=2，c=，则C=

【答案】B

2.【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°

，b=，c=3，则A=_________.

【答案】75°

【解析】由题意：

，即，结合可得，则.

3.【2017课标II，文16】的内角的对边分别为,若,则

【解析】由正弦定理可得

4.【2017天津，文15】在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

.

5.【2017江苏，18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水