专题21+正弦定理和余弦定理押题专练高考数学理一轮复习精品资料整理版Word文件下载.docx

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坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.

【必会结论】

1.仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.

2.“方位角”与“方向角”的区别:

方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是.

高频考点一考查测量距离

例1、如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在岸边定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°

,∠BCD=30°

,∠BDC=105°

,∠ADC=60°

,试求AB的长.

的距离为AB==a.

【举一反三】如图所示,有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度,且不能到达对岸),某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离,但只有卷尺和测量仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF,用卷尺测得EF的长度为a,并用测角仪测量了一些角度:

∠AEF=α,∠AFE=β,∠CEF=θ,∠CFE=φ,∠AEC=γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果.

【解析】第一步:

在△AEF中,利用正弦定理,

【方法技巧】求距离问题时要注意

(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;

若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解;

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

【变式探究】

隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,同时,测得∠ACB=75°

,∠BCD=45°

,∠ADC=30°

,∠ADB=45°

(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.

【解析】如图,在△ACD中,∠ACD=120°

∠CAD=∠ADC=30°

.所以AC=CD=.

在△BCD中,∠BCD=45°

,∠BDC=75°

,∠CBD=60°

,由正弦定理知BC==.

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·

BC·

cos∠ACB=()2+2-2×

×

cos75°

=3+2+-=5,所以AB=km,

所以A,B两目标之间的距离为km.

高频考点二考查高度问题

例2、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°

的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°

的方向上,仰角为30°

,则此山的高度CD=________m.

【答案】100

【举一反三】如图,在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°

,测得湖中之影的俯角为45°

,则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()

A.2.7mB.17.3m

C.37.3mD.373m

【答案】C

【方法技巧】求解高度问题首先应分清

(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角;

(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;

(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用.

【变式探究】如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°

,再由点C沿北偏东15°

方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°

,则塔AB的高是________米.

【答案】10

【解析】在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°

,∠BCD=15°

+90°

=105°

,∠DBC=30°

,=,BC==10.在Rt△ABC中,tan60°

=,AB=BCtan60°

=10.

高频考点三考查角度问题

例3、在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°

方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°

方向前进,若红方侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°

+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.

所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.

【举一反三】某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°

,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角为105°

的方向,以10海里/时的速度向小岛B靠拢,我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.

【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义.

(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.

(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.

【变式探究】如图,位于A处的信息中心获悉:

在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°

、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.

解在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°

,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·

AC·

cos120°

=2800⇒BC=20.

高频考点四考查函数思想在解三角形中的应用

例4、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°

且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s=

==.

故当t=时,smin=10,v==30(海里/小时).

即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2=400+900t22·

20·

30t·

cos(90°

-30°

),

【方法技巧】解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题,这需要建立有关量的函数关系式,通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用,经常与正弦定理、余弦定理相结合,此类问题综合性较强,能力要求较高,要有一定的分析问题、解决问题的能力.

【举一反三】如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?

【解析】作MI垂直公路所在直线于点I,则MI=3,

∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时,追上汽车的时间为t小时,

由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×

50t×

即v2=-+2500==252+900≥900,

∴当t=时,v取得最小值为30,∴其行驶距离为vt==公里.

故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了公里.

【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合,此类问题综合性较强,能力要求较高,要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力。

解答本题利用了函数思想,求解时把速度表示为时间的函数,利用函数最值求法完成解答,注意函数中以为整体构造二次函数,求最值。

【变式探究】如图所示,已知树顶A离地面米,树上另一点B离地面米,某人在离地面米的C处看此树,则该人离此树________米时,看A,B的视角最大.

【答案】6

【解析】过C作CF⊥AB于点F,设∠ACB=α,∠BCF=β,由已知得AB=-=5(米),BF=-

1.(2018年全国III卷)的内角,,的对边分别为,,.若的面积为,则

A.B.C.D.

【解析】由题可知,所以

由余弦定理,所以

,,故选C.

2.(2018年浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°

,则sinB=___________,c=___________.

【答案】

(1).

(2).3

【解析】由正弦定理得,所以

由余弦定理得(负值舍去).

3.(2018年全国I卷)△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为________.

【答案】

4.(2018年天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B–).

(Ⅰ)求角B的大小;

(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A–B)的值.

(Ⅰ)B=;

(Ⅱ)b=,

【解析】

(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.

(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.

由,可得.因为a<

c,故.因此,

所以,

【2016高考四川文科】

(本题满分12分)

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

(I)证明:

(II)若,求.

(Ⅰ)证明详见解析;

(Ⅱ)4.

故tanB==4.

1.【2017课标1,文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

已知,a=2,c=,则C=

【答案】B

2.【2017课标3,文15】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°

,b=,c=3,则A=_________.

【答案】75°

【解析】由题意:

,即,结合可得,则.

3.【2017课标II,文16】的内角的对边分别为,若,则

【解析】由正弦定理可得

4.【2017天津,文15】在中,内角所对的边分别为.已知,.

(I)求的值;

(II)求的值.

(Ⅰ);

(Ⅱ).

.

5.【2017江苏,18】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水

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