浙江省七彩阳光联盟学年高三上学期期初联考数学试题文档格式.docx

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二、双空题

11．设，则____________，____________.

12．已知两条平行直线与的距离为，则____________，_________.

13．已知正项等比数列满足，，则_______，数列的前项和为______.

14．在中，，则____________，____________.

三、填空题

15．已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.

16．已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为____________.

17．已知向量，满足，，的最小值为1，当最大时，________.

四、解答题

18．已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称轴；

（Ⅱ）求函数在的最值及相应的值.

19．如图，是由两个全等的菱形和组成的空间图形，，∠BAF＝∠ECD＝60°

.

（1）求证：

；

（2）如果二面角B－EF－D的平面角为60°

，求直线与平面所成角的正弦值.

20．已知正项数列的前项和为，且对一切，有.

求证：

（Ⅰ）对一切n∈N*，有；

（Ⅱ）数列是等差数列；

（Ⅲ）对一切，.

21．过抛物线外一点P向抛物线作两条切线，切点为M、N，F为抛物线的焦点.证明：

（1）；

（2）.

22．已知函数.

（Ⅰ）时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】

计算，再计算交集得到答案.

【详解】

，所以.

故选：

C.

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，属于简单题.

2．D

利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断.

由双曲线的方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为

由双曲线的方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为．

D

本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.

3．B

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.

作出满足约束条件的平面区域，如图所示，目标函数即，

表示直线与轴的截距，根据图像知：

当时有最大值为.

B.

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

4．D

由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积．

由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，

其体积为．

D．

本题考查三视图，考查柱体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．

5．B

由得，所以，其他选项用特殊值法排除，得到答案.

由得，所以.

对于，取，不成立；

对于取，不成立；

对于取，不成立.

本题考查了不等式的性质，取特殊值排除可以快速得到答案，是解题的关键.

6．C

根据点与圆，直线与圆的位置关系判断即可.

若点在圆内，则

则圆心到直线的距离

则直线与圆相离

反之

直线与圆相离，则圆心到直线的距离，即，则点在圆内

所以“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件

C

本题主要考查了充分必要条件的判断，涉及点与圆，直线与圆的位置关系，属于基础题.

7．A

根据定义域排除，，排除，得到答案.

根据定义域排除，，排除.

A.

本题考查了图像的识别，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.

8．C

过作平面，过分别作于，连接，则，比较大小得到答案.

如图，过作平面，过分别作于，

连接，

则，因为，所以，

又因为，所以，而，所以，

综上可得，，

本题考查了直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9．D

无实根，当时，，故恒成立，画出函数图像，根据图像得到答案.

无实根，当时，，故恒成立，

即对任意实数恒成立，根据图像知：

，或，，

D.

本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像是解题的关键.

10．A

当时，，计算，，得到答案.

当时，由已知得，

所以

，

故，故，所以，

时等号成立.

本题考查了数列的求和，确定是解题的关键，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11．237

直接代入数据计算得到答案.

故答案为：

2；

37.

本题考查了函数值的计算，属于简单题.

12．-1

根据直线平行和平行直线距离公式得到答案.

因为，所以，两直线的距离为.

-1；

本题考查了根据平行求参数，平行直线的距离，意在考查学生的计算能力.

13．

直接利用等比数列公式计算得到，再计算等差数列和得到答案.

由，得，，，

而，所以的前项和为.

本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

14．2

根据余弦定理计算得到，再利用正弦定理计算得到答案.

由余弦定理得，，，即，

，所以，，

而，故，即.

本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

15．

根据题意作出图示，求解出的长度，然后根据椭圆的定义得到之间的关系即可求解出离心率.

如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.

因为，，所以，

所以，所以，

因为，所以，

即，所以.

本题考查根据几何关系以及椭圆的定义求解椭圆的离心率，难度一般.求解离心率的问题，如果涉及到特殊几何图形，一定要注意借助图形本身的性质去求解问题.

16．4

根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.

当时，，单调递减，故，

要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.

4.

本题考查了函数的单调性，值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

17．2

设，，由题意知，点到直线的距离为1，计算，故，得到答案.

设，，由题意知，点到直线的距离为1，

设的中点为，，，故.

则，

当且仅当时，等号成立，此时，.

2.

本题考查了向量的数量积，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.

18．（Ⅰ）周期为，对称轴方程为；

（Ⅱ）当时，有最大值2；

当时，有最小值

（Ⅰ）化简得到，得到周期和对称轴.

（Ⅱ）当时，，得到值域.

（Ⅰ），

故函数的最小正周期为，

函数的对称轴方程满足，即.

（Ⅱ），当时，，

因此当时，有最大值2；

当时，有最小值.

本题考查了三角函数的周期，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

19．

（1）见解析；

（2）

（1）取的中点，连接、，.利用菱形的性质、等边三角形的性质分别证得，，由此证得平面，进而求得，根据空间角的概念，证得.

（2）根据

（1）得到就是二面角的平面角，即，由此求得的长.利用等体积法计算出到平面的距离，根据线面角的正弦值的计算公式，计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）取的中点，连接、，.在菱形中，

∵，∴是正三角形，∴，

同理在菱形，可证，∴平面，∴，

又∵，∴.

（2）由

（1）知，就是二面角的平面角，即，

又，所以是正三角形，故有，

如图，取的中点，连接，则，又由

（1）得，

所以，平面，且，又，在直角中，，

所以，设到平面的距离为，则

，所以，

故直线与平面所成角正弦值为.

本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20．（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析

（Ⅰ），，相减化简得到答案.

（Ⅱ），，相减得到，得到证明.

（Ⅲ），故，代入计算得到答案.

（Ⅰ）由，得，

两式相减得，

因为>

0，所以，

所以，对一切，有.

（Ⅱ）可得，

两式相减得，，即，

由于，所以，又时，解得；

时，，解得，满足，

因此对一切，都有，即是等差数列.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，而当时，

所以当时，，

又当时，显然成立，

所以对一切，.

本题考查了等差数列的证明，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．

（1）见解析；

（2）见解析

【解析】

设P，M，N.易求得切线PM：

切线PN：

因为点P在两条切线上，所以，

故点M、N均在直线上.

于是，.

联立

由韦达定理知

（1）易知，F.

由抛物线的第二定义得

因此，.

（2）由，，，知

又，则

类似地，

故

结合，得

22．（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；

（Ⅱ）

（Ⅰ）求导得到，得到单调区间.

（Ⅱ），求导根据单调性得到，讨论和两种情况，分别计算函数的最值得到答案.

（Ⅰ）当时，，则，

当时，时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）设，

而，令，则.

于是当x>

0时，为增函数，又由，知.

（1）若，则，.

此时在区间上有唯一零点，设为，则时，.

故在区间上为减函数，，因此，不符合要求.

（2）若，则时，，

此时在区间上为增函数.

故时，，因此符合要求，

综上，的取值范围是.

本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.