苏教版数学选修21第1章 112Word文件下载.docx
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b________ac>
bc;
(3)ac2>
bc2________a>
b;
(4)a,b,c成等差数列________2b=a+c.
【解析】
(1)当x>
2时,一定有x≥1,故填⇒;
(2)当c≤0时,a>
b不能推出ac>
bc,故填D;
(3)因为ac2>
bc2,所以c2>
0,所以a>
b,故填⇒;
(4)a,b,c成等差数列,则b-a=c-b即2b=a+c,故填⇒.
【答案】
(1)⇒
(2)D (3)⇒ (4)⇒
教材整理2 充分、必要条件的含义
阅读教材P7中间部分,完成下列问题.
条件关系
含义
p是q的充分条件
(q是p的必要条件)
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的充分不必要条件
p⇒q,且qDp
p是q的必要不充分条件
pDq,且q⇒p
p是q的既不充分又不必要条件
pDq,且qDp
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p则q”为真.( )
(2)命题“若p则q”为假,记作“q⇒p”.( )
(3)若p是q的充分条件,则p是唯一的.( )
(4)若“pDq”,则q不是p的充分条件,p不是q的必要条件.( )
【答案】
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
2.用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空.
(1)“a2+b2=0”是“a=b=0”的________条件.
(2)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件.
(3)“a2>
0”是“a>
0”的________条件.
(4)“sinα>
sinβ”是“α>
β”的________条件.
【解析】
(1)a2+b2=0成立时,当且仅当a=b=0.故应填“充要”.
(2)因为两个三角形全等⇒两个三角形相似,但两个三角形相似D两个三角形全等,所以填“充分不必要”.
(3)因为a2>0Da>0,如(-2)2>0,但-2>0不成立;
又a>0⇒a2>0,所以“a2>0”是“a>0”的必要不充分条件.
(4)因为y=sinx在不同区间的单调性是不同的,故“sinα>
β”的既不充分也不必要条件.
【答案】
(1)充要
(2)充分不必要 (3)必要不充分 (4)既不充分也不必要
[质疑·
手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
疑问3:
[小组合作型]
充分、必要条件的判定
(1)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的________条件;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的________条件;
(3)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件;
(4)“x<0”是“ln(x+1)<0”的________条件.
【精彩点拨】 分清条件和结论,利用定义进行判断.
【自主解答】
(1)当ab<
0时,由a>
b不一定推出a2>
b2,反之也不成立.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.
(2)设R是三角形外切圆的半径,R>0,由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,
∵sinA≤sinB,∴2RsinA≤2RsinB,∴a≤b.
同理也可以由a≤b推出sinA≤sinB.所以“a≤b”是“sinA≤sinB”的充要条件.
(3)若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;
反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定为菱形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
(4)ln(x+1)<
0⇔0<
1+x<
1⇔-1<
x<
0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以“x<
0”是“ln(x+1)<
0”的必要不充分条件.
【答案】
(1)既不充分也不必要
(2)充要 (3)充分不必要 (4)必要不充分
1.判断充分条件和必要条件的一般步骤
(1)判定“若p则q”的真假;
(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件;
(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
2.判断充分条件和必要条件常用的方法
(1)定义法:
分清条件和结论,再根据定义;
(2)等价法:
将不易判断的命题转化为它的等价命题判断.
[再练一题]
1.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),下列结论正确的是________(填序号).【导学号:
09390005】
①Δ=b2-4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件;
②Δ=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件;
③Δ=b2-4ac>
0是函数f(x)有零点的必要条件;
④Δ=b2-4ac<
0是函数f(x)没有零点的充要条件.
【解析】 ①是正确的,因为Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根⇔f(x)=ax2+bx+c有零点;
②是正确的,因为Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,因此函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零点,但是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零点时,有可能Δ>
0;
③是错误的,因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零点时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,但未必有Δ=b2-4ac>
0,也有可能Δ=0;
④是正确的,因为Δ=b2-4ac<
0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根⇔函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)无零点.
【答案】 ①②④
充分、必要条件的探求
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件,并证明.
【精彩点拨】 根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系,先求出数列的通项an,根据数列{an}为等比数列,探求q所满足的条件,同时要注意充分性的证明.
【自主解答】 a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
∵p≠0,p≠1,∴=p.
若{an}为等比数列,则==p,
∴=p,
∵p≠0,∴p-1=p+q,
∴q=-1.∴{an}为等比数列的必要条件是q=-1.
下面证明q=-1是{an}为等比数列的充分条件.
当q=-1时,Sn=pn-1(p≠0,p≠1),
∴a1=S1=p-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1),
∴an=(p-1)pn-1(p≠0,p≠1),
==p为常数,
∴q=-1时,数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=-1.
1.充分、必要条件的探求方法
(1)探求条件时,一定要注意题目的问法,不要混淆充分条件与必要条件.
(2)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是两个不同的命题,前者说明A⇒B,后者说明B⇒A,对于必要条件也要类似区分.
2.探求充要条件一般有两种方法
(1)等价转化法.将原命题进行等价变形或转化,直至获得其成立的充要条件,求解的过程同时也是证明的过程,因为求解的过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法.先寻找必要条件,即将求充要条件的对象视为结论,寻找使之成立的条件;
再证明此条件是该对象的充分条件,即从充分性和必要性两方面说明.
2.已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的根的充要条件.
【导学号:
09390006】
【解】 设方程的两根分别为x1,x2,则x1,x2都大于1的充要条件是
整理得
由根与系数的关系,得
解得k<
-2.
所以所求的充要条件是k∈(-∞,-2).
[探究共研型]
充分、必要条件的应用
探究1 若集合AB,那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件?
“x∈B”是“x∈A”的什么条件?
【提示】 因为AB,所以x∈A成立时,一定有x∈B,反之不一定成立,所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件.
探究2 对于集合A和B,在什么情况下,“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件?
【提示】 当AB且BA时,“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件.
探究3 集合A={x|x≥a},B={x≥2}.若A是B的充要条件,实数a的值确定吗?
若集合A是B的充分不必要条件?
实数a的值确定吗?
【提示】 当A是B的充要条件时,A=B,这时a的值是确定的,即a=2;
当A是B的充分不必要条件时,AB,这时a的值不确定,实数a的范围是a>
2.
已知p:
2x2-3x-2≥0,q:
x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
【精彩点拨】 先利用不等式的解法确定命题p,q成立的条件,再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组,求a的范围.
【自主解答】 令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}=,N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a}.由已知p⇒q且qDp,得MN,
∴或
解得≤a<
2或<
a≤2,即≤a≤2.
则实数a的取值范围是.
根据充分条件或必要条件求参数范围
1.记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)}.
2.若p是q的充分不必要条件,则MN,
若p是q的必要不充分条件,则NM,
若p是q的充要条件,则M=N.
3.根据集合的关系列不等式(组).
4.求参数范围.
3.已知(x+1)(2-x)≥0的解为条件p,关于x的不等式x2+mx-2m2-3m-1<0的解为条件q.
若p是q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围.
【解】 设条件p的解集为集合A,则A={x|-1≤x≤2},设条件q的解集为集合B,则B={x|-2m-1<x<m+1},
若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集,
所以 ⇒m≥1.
[构建·
体系]
1.用“⇒”、“D”、“⇔”填空.
1________x>
b________a2>
b2;
(3)a2+b2=2ab________a=b.
【解析】
(1)x>
1>
0,故填“⇒”;
(2)因为2>
-3⇒4<
9,故填“D”;
(3)a2+b2=2ab⇔(a-b)2=0⇔a-b=0⇔a=b,故填“⇔”.
【答案】
(1)⇒
(2)D (3)⇔
2.p:
|x|>2是q:
x<-2的________条件.
【解析】 解不等式|x|>2,得x>2或x<-2,故pDq,且q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.
【答案】 必要不充分
3.“(2x-1)x=0”是“x=0”的________条件.
【解析】 由(2x-1)x=0,得x=或0,所以应填“必要不充分”.
【答案】 必要不充