李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社docWord格式文档下载.docx
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⑴X；
+£
+%；
（2）心;
兀；
（3）兀;
/£
.
其中x；
x；
x：
均为第3题所给的数。
£
（＜）=-X10-4£
（X2）=-XlO_3£
（x；
）=丄xio"
（x*）=ixlO-3
^x；
）=ixlO-*
（1）£
（X：
+X；
）
=£
（X*）+£
（X*）
=-xi（r4+-xio'
3+-xio-3
222
=1.05x10—3
（2）心x；
k；
=X：
X；
|£
（X；
）+|x；
）+卜:
卜（X；
x|x10-4+|M021x385.6|x|x10-3
=11」021x0.03l|xixio_l+10.031x385.6
-0.215（3）£
/x；
〜X；
£
（x*）+|x*|£
（x*）
0.03lx-xlO-3+56.430x-xlO'
3
=22
56.430x56.430
=I0^5
5计算球体积要使相对误养限为I,问度最半径R时允许的相对误茅限毘多少?
42
球体体积为V=-ttR>
则何种函数的条件数为
R4ttR
V
/.£
r（V*）7$（/?
*）=3耳（/?
*）
Xv（y*）=l
故度量半径聊允许的相对误差限为曲pxy
6・
设人=28,
按递推公式匕=匕_厂需朋
（n=12…）
计算到匕）0。
若取V783-27.982（5位有效数字），试问计算匕磁将有多大误羞?
若取V783-27.982,aYl00=Y0-27.982
...£
%）=£
（$）+£
（27.982）=-X10-3
.•・％的误差限为-xl0~\
7.求方程x2-56x+\=0的两个根，使它至少具有4位有效数字=27.982）。
x_—56x+1=0,
故方稈的根应为札=28±
V783
故x,=28+^783«
28+27.982=55.982
%,具有5位有效数字
无具有5位有效数字
8.当N充分大时，怎样求匸勺一^/兀？
N1IA
fN+11
解r（lx=arctan（A^+1）-arctanN
）N1+X2
设a=arclan（N+l）,0=arctanN。
则tanflf=y+1,tan0=N.
rN+i1
-dx
*1+jr
-a-p=arctan（tan（af-/7））
=arctan
tancr-tan0
1+伽atan0
N+l—N
1+（N+1）N
=arctan—；
M+N+l
9.正方形的边长人约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1M?
?
正方形的面积函数为A（x）=X2•••£
（A*）=2A*£
（X*）.
当疋=100时，若£
（"
）51,
故测量屮边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过\cnr
10.设S=-^r,假定g是准确的，而对t的测量有±
0」秒的误差，证明当t增加时S的绝对误旁增加，而相对误旁却减少。
•••F（S*）=gt2f（/*）
当t*增加时，s*的绝对误差增加
（S*）
汕）=|s*二押£
（/*）
11•序列｛儿｝满足递推关系儿=10儿_]-1（n=l,2,…）,
若儿=血=1.41（三位有效数字），计算到九时误差有多大？
这个计算过程稳定吗?
y0=>
/2«
1.41
•"
（儿*）=*1°
-2
又•••儿i°
儿_1一1
••x=1°
儿一1
••£
（必*）=10£
（儿*）
••f（y2*）=10£
（曾）
（y2*）=10£
（y0*）
・••^（yio*）=lo,Of（yo*）=10限丄X10-2
2
=-xl08
计算到Mo时误差为|xio\这个计算过程不稳定。
12•计算/=（V2-1）6,取V2-1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?
99-70^2。
1
心）…6岛X）
=2.53/e（x）
若通过（3-2血）3计算y值，则e（y4）=|-3x2x（3-2x'
）2e（x*）
_3-2x*
才E（x）
=30yt（F）
若通过
]
（3+2V2）3
计算y值,
（/）=--3xe（x）
（3+2xr
=6x!
—y'
e（x'
（3+2x）八
=1.0345/e（/）
通过——]~r-7计算后得到的结果最好。
问求对数时误养有多
13./•（力="
（兀一丁^匸1）,求/（30）的值。
若开平方用6位函数表,
人？
若改用另一等价公式。
ln（x--1）=-ln（x+-1）
计算，求对数时误差有多大？
解
/（x）=\n（x-y/x2-1）,/（30）=ln（30-V899）
^w=V899,y=/（30）
则/=29.9833
.•.£
（“）=—X10-4
故
（/）
30—w
0.0167
=3x10-
若改用等价公式
ln（x-Vx2-1）=-ln（x+Vx2-1）
则/（30）=-ln（30+>
/899）
此时，
30+7
59.9833
・咖）
=8x10“
第二章插值法
1.当x=h-l,2时，/（x）=0,—3,4,求/（x）的二次插值多项式。
X。
=1，X]=—1,x2=2，f（X。
）=0,/（xJ=-3,f（x2）=4;
（x-xl）（x-x2）=_1t2
（x0-x,）（x0-x2）2
/w=（x-x0）（x-x2）=l（x_1）（x_2）（再一兀））（石一花）6
z（x）=（x-XoXx-x.）=l（x_1）（x+1）
〜（x2-x0）（x2-X!
）3
则二次拉格朗口插值多项式为
厶（x）=£
m（x）
k=0
=—3/q（x）+41（x）=-|（x-l）（x-2）+^（x-l）（x+i）
23
2.给出f（x）=\nx的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
川线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。
解：
由表格知，
=0・4,X]=0.5/2=°
・6,3=0.7,x4=0.8;
f（xQ）=-0.916291,/（%,）=-0.693147/（x2）=-0.510826,/（x3）=-0.356675/（x4）=-0.223144
若采用线性插值法计算In0.54即/（0.54）,
则0.5<
0.54<
0.6
I、（x）=—~~—=-10（x-0.6）
X]—x2
厶（兀）==-10（x-0.5）
厶（兀）二/（%!
）/）（%）+f（x2）l2（x）
=6.93147（x-0.6）-5.10826（x一0.5）
•・•厶（0.54）=-0.6202186=-0.620219
若采川二次插值法计算In0.54时,
的=吕賤=50（「0.5）（76）
（尤_兀）（尤_尤2）
-xQ）（x}-x2）
=-100（x-0.4）（x-0.6）
Z2（x）=
=50（x-0.4）（x-0.5）
（乂_兀）（/_召）
（x2-xQ）（x2-x{）
厶（x）=/（Xo"
o（x）+/3"
iW+/（x2）Z2（x）
=-50x0.91629l（x-0.5）（x-0.6）+69.3147（x-0.4）（x-0.6）-0.510826x50（x-0.4）（j-0.5）
•••厶（0.54）=-0.61531984«
-0.615320
«
■»
3.给全cosx,0°
<
x<
90°
的函数表，步长/?
=f=（l/60）\若函数表具有5位有效数字，研
究用线性插值求cos兀近似值时的总误差界。
求解COSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过稈屮产生一定的误差传播；
另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。
因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
0°
X<
时,
令/（x）=cosx
^xo=O,/z=（—）°
=—x—=^-0606018010800
令Xj=X。
+ih,i=0,1,...,5400
则X5400=-=90
当XE[xk1Xk_}]时，线性插值等项式为
厶（x）=/（兀）
+/（g）
插值余项为
/?
（%）=|cosx-厶（x）|=
-厂©
（X-xk）（x-忑+]）
又•••在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosxe[0j],故计算中有误差传播过程。
•••玖厂（忑））=\12
E（f（Xk））-^-^1+L（/*（和））'
母一林+1丨|母+1一母
Wg）（兰二沁
林一H+1
=2（忑））-（"
+]_X+X_耳）
之（八忑））
•・•总误并界为
R=（x）+R2（x）
=#（一cosg）（x—旺）（x—电+]）+£
（/"
（“））弓x（r）（D+g））<
\（卯）2+£
（八无））
22
=1.06x10^+-X10'
5
=0.50106xl0-5
4.设为互异节点，求证：
（1）£
lj（x）三X*伙=0,!
•••,«
）；
（2）£
（®
-x）乜（x）三0（£
=0,1,…，川）;
7=0
证明
（1）令/（X）=xk
n
若插值节点为=0丄…/,则函数/（x）的〃次插值多项式为LnM=X^j
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