振动习题答案分析解析.doc
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《振动力学》——习题
第二章单自由度系统的自由振动
2-1如图2-1所示，重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物从高度为h处自由下落到上且无弹跳。
试求下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
x
x0
x1
x12
平衡位置
解：
，
动量守恒：
，
平衡位置：
，
，
故：
故：
2-2一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：
给杆一个微转角q
q＝ha
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3一半圆薄壁筒，平均半径为R,置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求
其摆动的固有频率。
图2-3图2-4
2-4如图2-4所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况
系统作垂直振动的固有频率：
（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
k2
k1
m
l1
l2
mg
l1
l2
x1
x2
x
图T2-9 答案图T2-9
解：
（1）保持水平位置：
（2）微幅转动：
故：
2-5试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。
已知杆的质量为m，A
端弹簧的刚度为k。
并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？
图2-5图2-6
2-6在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。
已知m=50kg，，
，。
试问：
（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？
｛2.17｝图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
k1
k2
k3
k4
m
图T2-17
解：
（1），
（2），
2-7图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。
试求此系统的固有频率。
图2-7
解：
系统动能为：
系统动能为：
根据：
，
2-8如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼
系数及阻尼固有频率。
图2-8
a
b
l
解：
，
由
2-9图2-9所示的系统中，m＝1kg，k＝224N/m，c＝48N.s/m，l1＝l＝0.49m，l2＝l/2，l3＝l/4，不计钢杆质量。
试求系统的无阻尼固有频率及阻尼。
图2-9
｛2.26｝图T2-26所示的系统中，m=1kg，k=144N/m，c=48N•s/m，l1=l=0.49m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率及阻尼。
l1
m
k
c
l2
l3
m
O
图T2-26 答案图T2-25
解：
受力如答案图T2-26。
对O点取力矩平衡，有：
第三章单自由度系统的强迫振动
3-1如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力。
试求质量块的振幅。
图3-1
解：
设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图
（1）和图
（2）的受力分析，得到
（B）
（C）
联立解得，
所以，n=0，得，
mg
q
B
P0sinwt
A
XA
YA
FC
FK
图3-2
3-2图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：
（1）系统发生共振；
（2）等于固有频率的一半。
解：
图
（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图
（2）
又I＝ml2
则
1）系统共振，即
2）
3-3建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率，阻尼比以及稳态响应振幅。
图3-3
解：
以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
令，，，，，得到
3-4一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力，其中是激振频率，g是重力加速度。
试求：
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；
（2）机器的振幅。
解：
设系统在平衡位置有位移，
则
即
又有则
（1）
所以机器的振幅为
（2）且，（3）
又有（4）
将
（1）
（2）（4）代入
（2）得机器的振幅=0.584mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B=5cm，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。
3-5证明：
粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为
证明
3-6单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知。
试求系统的响应。
图3-6
解：
由图得激振力方程为
当0由于，所以有
当t1当t+0
图3-7
3-7试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。
解：
由图得激振力方程为
当0当t3-8图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水
平行驶速度v。
道路前方有一隆起的曲形地面：
（1）试求车辆通过曲形地面时的振动；
（2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。
图3-8
解：
由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
由曲形地面∶，得到
得到系统的激振力为，。
（1）车通过曲形地面时的振动为
（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即
，
由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为
其中，，。
或积分为
3-9图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。
试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
3-10图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。
若箱子触地后不再跳起，试求：
（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；
（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
图3-9图3-10
第四章多单自由度系统的振动
4-1图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设，
。
试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：
如图选择广义坐标。
求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
，
由频率方程，得
解出频率为
，，
由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，
将代入得系统的第一阶主振型为
满足如下关系：
，
展开以上二式得，。
取，，可得到。
即有
满足如下关系：
，
展开以上二式得，，，联立得。
取，，可得到。
即得
主振型矩阵为
图4-2
4-2试计算图4-2所示系统对初始条件和的响应。
解：
在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
主质量振型为
正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为
正则坐标初始条件为
=0，=
正则坐标的响应为，，，其中频率为。
最终得到响应,由，展开得到
解：
从6—6中可得主频率和主振型矩阵为
由质量矩阵，可求出主质量矩阵
则正则振刑矩阵为
于是
于是得
所以响应为
，
即，其中，.
4-3试确定题4-2的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力的响应。
4-4如图4-4所示，已知机器质量为，吸振器质量为，若机器上有一偏心质量，偏心距e=1cm，机器转速n=1800r/m。
试问：
（1）吸振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？
（2）此时吸振器的振幅B2为多大？
（3）若使吸振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变吸振器的参数？
图4-4
第六章弹性体系统的振动
6.1一等直杆沿纵向以速度v向右运动，求下列情况中杆的自由振动：
（1）杆的左端突然固定；
（2）杆的右端突然固定；
（3）杆的中点突然固定。
图6-1
解；
（1）杆的左端突然固定；
杆的初始条件为：
有题可知
得
，
所以有：
进而有：
%全部改成：
图6-2
6-2图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，
（1）若受到均匀分布力的作用，
试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；
（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰
力为，试求杆的稳态强迫振动。
解：
t-=0时的应变为
杆的初始条件为
一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为
将主振型代入上式归一化为
以正则坐标表示初始条件为
以正则坐标表示对初始条件的响应为
于是杆的自由振动为
杆左端固定端，右端为自由端
边界条件
得固有频率，主振型
i=1,2,……
杆在x处的应变
初始条件
由得
再利用三角函数正交性
得
（2）解：
因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为
将主振型代入归一化条件，得
得到正则振型
又第i个正则方程为
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