圆中辅助线Word文件下载.doc
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∴即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•PN，∴PM•PN=2PO2.
二、作直径所对的圆周角
在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周角是直角的性质。
例2如图，在△ABC中，∠C=90°
，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．
（1）求证：
BA·
BM=BC·
BN；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．
要证BA·
BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°
，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°
。
M
N
O
C
A
（1）证明：
连结MN，则∠BMN=90°
=∠ACB
∴△ACB∽△NMB
∴
∴AB·
BN
（2）解：
连结OM，则∠OMC=90°
∵N为OC中点
B
∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°
∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°
∵∠ACB=90°
，∴AB=2AC=2×
3=6
三、连结半径
圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：
“同圆的半径相等”和“圆的切线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一.
例3．已知：
如图，△ABC中，∠B=90°
，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC于D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.
求CD的长.
D为切点，连结DO，则∠ODA=90°
.根据切线长定理，有CD=CB.DO=EO=半径r，在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~Rt△ABC，即可求出CD.
连结DO∴OD⊥AC于D,∴∠ODA=90°
∵AB过O点,∠B=90°
.∴BC为⊙O的切线,∴CD=CB
设CD=CB=x,DO=EO=y
在Rt△ADO中，AO2=AD2+DO2，AD=2，AE=1
∴,解得y=
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（2+x）2=（1+y+y）2+x2,∴x=3∴CD=3.
四、连结公共弦
在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
例4．已知：
如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，
O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分
别和⊙O2相交于点D、E，求证：
AD=BE.
分析：
⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.
证明：
连结AB交O2O1于P点，
∵O1O2⊥AB且O1O2平分AB∴CA=CB
∴∠ACP=∠BCP∴点O2到线段AD、BE的距离相等∴AD=BE.
五、作连心线
两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；
两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.
例5．已知：
如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r，⊙B的半径为3r,CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，求：
（1）CD的长；
（2）CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.
解：
（1）连结AB、AC、BD
∵⊙A和⊙B外切于P点，∴AB过P点
∵CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，
∴AC⊥CD，BD⊥CD
过A点作AE⊥BD于E，则四边形ACDE为矩形.
∴DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r
在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r
∴AE=∴CD=2r.
（2）由
（1）可知COSB=，∴∠B=60°
.∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=90°
+30°
=120°
∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP
=4－π－π=（4－π）
六、作公切线
相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如下题中所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.
例6．已知：
⊙O1和⊙O2外切于点A，ＢＣ是⊙O1和⊙O2的外公切线，Ｂ、Ｃ为切点.
ＡＢ⊥AＣ
过切点Ａ作公切线ＭＮ交ＢＣ于Ｐ点，
∵ＢＣ是⊙O1和⊙O2的外公切线，
∴ＰＢ＝ＰＡ＝ＰＣ
∴∠PBA=∠PAB，∠PAC=∠PCA
∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA=180°
∴∠BAC=90°
∴ＡＢ⊥AＣ.
七、切线判定分两种：
公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是：
“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：
（1）直线经过半径的外端，
（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线
需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.
例7．已知：
如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°
DC是⊙O的切线.
DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO
作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.
又∵∠DOC=90°
.∴FO=FD∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，
∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.
2．有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例8．已知：
如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：
CD是⊙O的切线.
D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.
连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B
∴∠OBC=90°
，∴∠ODC=90°
，又D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线.
我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：
弦与弦心距，密切紧相连；
直径对直角，圆心作半径；
已知有两圆，常画连心线；
.
遇到相交圆，连接公共弦；
遇到相切圆，作条公切线；
“有点连圆心，无点作垂线.”
切线证明法，规律记心间.
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