浙江省台州市奥赛班数学能力评估测试必修四Word版含答案Word文档格式.docx
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DQ．
第II题
第二部分（共3大题，计120分）
一、单项选择题（共6小题，每题6分，计36分）．
1.函数的值域是（）
A．B．C．D．
2.函数的图像大致为（）
A．B．C．D．
3.设函数，，，，，记，．则（）
4.内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C1，
则
的值为（）
A．2B．3C．4D．6
5.设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于（）
A．B．C．−1D．1
6.在一个10×
10的方格表中有一个由4n个1×
1的小方格组成的图形，它既可被n个“”型的图形覆盖，也可被n个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖．则正整数n的最小值为（）
A．3B．4C．6D．8
二、填空题（共8小题，第7~11题每题6分，第12~14题每题8分，计54分）．
7.设，对任意的向量，和实数，如果满足，则有成立，那么实数的最小值为．
8.已知函数在区间上是减函数，若0<
x≤1，，，，则a，b，c的大小关系为．
9.设a、b为实数，满足对于任意实数x，都有：
，则a+b的最大值为．
10.设A、B为实数，记为函数在上的最大值．则A、B变化时，的最小值为．
11.M=cos23°
+cos95°
+cos167°
+cos239°
+cos311°
的值为．
12.设函数满足，则a的最大值为．
13.设，且，则对，=．
14.O为所在平面内一点，A，B，C为的角，若
++，
则点O为的心．
三、解答题（本大题分2小题，共30分）．
15.（本题满分15分）已知函数，其中a、b、c∈R，甲乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a、b、c（如果甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对于任意实数x，，那么甲得胜；
如果存在实数x，，那么乙得胜．甲先选数，试问：
他是否有必胜策略？
16.（本题满分15分）给定实数a,b，a>
b>
0，将长为a宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界），问正方形的边至少为多长？
浙江省台州市2017年奥赛班数学能力评估测试
（必修四）答题卷
（满分：
150分时间：
120分钟）
DQ．
题目
1
2
3
4
5
6
答案
7、8、
9、10、11、
12、13、14、
15、（本题满分15分）已知函数，其中a、b、c∈R，甲乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a、b、c（如果甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对于任意实数x，，那么甲得胜；
16、（本题满分15分）给定实数a,b，a>
（必修四）参考答案
150分）
.
证明设，
则．………………………………………………………（5分）
由三倍角公式：
，
；
………………………………………（10分）
．……………………………………………（15分）
II.
………（15分）
…………（5分）
………（10分）
[1~6]BDBACB
7、8、a<
b≤c
9、210、11、0
12、313、n14、内
15、（15分）（可能有多种解法）
解①若a、b、c是非零实数，甲胜．甲先选b=1，无论乙选a或c，甲可再选c或a．使1-4ac<
0，从而方程无解．（5分）
②若a、b、c是任意实数，乙胜．甲先选a或b，乙可选c=0；
（3分）
甲选c≠0，乙可选a=-c．
，（7分）
因此在必有实根．（共15分）
16、（15分）（可能有多种解法）
解设长方形为ABCD，AB=a，BC=b，中心为O．以O为原点，建立直角坐标系，x轴、y轴分别与正方形的边平形．
情形1：
线段BC与坐标轴不相交．
不妨设BC在第一象限内，∠BOX≤（90°
-∠BOC）（图1）．
此时正方形的边长≥BDcos∠BOX≥BDcos
=BDcos45°
cos∠BOC+BDsin45°
sin∠BOC
=（a+b）．
所以此时所在正方形边长至少为（a+b）．（6分）
情形2：
线段BC与坐标轴相交．
不妨设BC与x轴相交，不妨设∠COX≤∠COB（图1）．
此时正方形的边长≥ACcos∠COX≥ACcos=a．
所以，此时所在正方形边长至少为a．（6分）
比较情形1，2中结论知：
若，则正方形的边长至少为a．
若，则正方形的边长至少为．（3分）
（共15分）
附第5题解析：
解令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x−c）=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af（x）+bf（x−c）=1，由此得．
一般地，由题设可得，，其中且，于是af（x）+bf（x−c）=1可化为
即，
所以．
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，则由
（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0．
所以，由
（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．当c=2kπ时，cosc=1，则
（1）、（3）两式矛盾．故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=−1．由
（1）、（3）知，
所以，．
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