线性代数课后习题答案全习题详解Word文件下载.docx
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（4）逆序数为3：
21，41，43
（5）逆序数为：
321个
52，542个
72，74，763个
…………………
2，4，6，…，个
（6）逆序数为
52，542个
…………………
421个
62，642个
3.写出四阶行列式中含有因子的项.
解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．
由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为
或
和为所求.
4.计算下列各行列式：
（2）；
（4）
解
（1）==
=0
（2）=0
（3）===
（4）=
5.证明:
（1）=;
（2）=;
（3）;
（4）;
（5）.
证明
（1）
（2）
（3）
（4）=
=
（5）用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立，即
所以，对于阶行列式命题成立.
6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得
，，，
证明.
证明
同理可证
7.计算下列各行列式（）：
（1）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；
（2）;
（3）;
提示：
利用范德蒙德行列式的结果．
（4）;
（5）;
（6）,.
（1）
（）
（2）将第一行乘分别加到其余各行，得
再将各列都加到第一列上，得
（3）从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，
经次行交换，得
此行列式为范德蒙德行列式
（4）
由此得递推公式：
即
而
得
（5）
（6）
8.用克莱姆法则解下列方程组：
解
（1）
;
．
9.有非零解？
解，齐次线性方程组有非零解，则
即得
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.
10.有非零解？
齐次线性方程组有非零解，则
得
不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1已知线性变换
求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换
解由已知
故
2已知两个线性变换
求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换
所以有
3设求3AB2A及ATB
解
4计算下列乘积
（1）
解
（2）
解（132231）（10）
（3）
解
（4）
（5）
（a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3）
5设问
（1）ABBA吗?
解ABBA
因为所以ABBA
（2）（AB）2A22ABB2吗?
解（AB）2A22ABB2
因为
但
所以（AB）2A22ABB2
（3）（AB）（AB）A2B2吗?
解（AB）（AB）A2B2
因为
而
故（AB）（AB）A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
（1）若A20则A0
解取则A20但A0
（2）若A2A则A0或AE
解取则A2A但A0且AE
（3）若AXAY且A0则XY
解取
则AXAY且A0但XY
7设求A2A3Ak
8设求Ak
解首先观察
用数学归纳法证明
当k2时显然成立
假设k时成立，则k1时，
由数学归纳法原理知
9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵
证明因为ATA所以
（BTAB）TBT（BTA）TBTATBBTAB
从而BTAB是对称矩阵
10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA
证明充分性因为ATABTB且ABBA所以
（AB）T（BA）TATBTAB
即AB是对称矩阵
必要性因为ATABTB且（AB）TAB所以
AB（AB）TBTATBA
11求下列矩阵的逆矩阵
解|A|1故A1存在因为
故
解|A|10故A1存在因为
所以
解|A|20故A1存在因为
（4）（a1a2an0）
解由对角矩阵的性质知
12解下列矩阵方程
（4）
13利用逆矩阵解下列线性方程组
（1）
解方程组可表示为
故
从而有
（2）
故有
14设AkO（k为正整数）证明（EA）1EAA2Ak1
证明因为AkO所以EAkE又因为
EAk（EA）（EAA2Ak1）
所以（EA）（EAA2Ak1）E
由定理2推论知（EA）可逆且
（EA）1EAA2Ak1
证明一方面有E（EA）1（EA）
另一方面由AkO有
E（EA）（AA2）A2Ak1（Ak1Ak）
（EAA2Ak1）（EA）
故（EA）1（EA）（EAA2Ak1）（EA）
两端同时右乘（EA）1就有
（EA）1（EA）EAA2Ak1
15设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及（A2E）1
证明由A2A2EO得
A2A2E即A（AE）2E
或
由定理2推论知A可逆且
由A2A2EO得
A2A6E4E即（A2E）（A3E）4E
或
由定理2推论知（A2E）可逆且
证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得
|A2A|2
即|A||AE|2
故|A|0
所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆
由A2A2EOA（AE）2E
A1A（AE）2A1E
又由A2A2EO（A2E）A3（A2E）4E
（A2E）（A3E）4E
所以（A2E）1（A2E）（A3E）4（A2E）1
16设A为3阶矩阵求|（2A）15A*|
解因为所以
|2A1|
（2）3|A1|8|A|18216
17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且（A*）1（A1）*
证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有
|A*||A|n|A1||A|n10
从而A*也可逆
因为A*|A|A1所以
（A*）1|A|1A
又所以
（A*）1|A|1A|A|1|A|（A1）*（A1）*
18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明
（1）若|A|0则|A*|0
（2）|A*||A|n1
证明
（1）用反证法证明假设|A*|0则有A*（A*）1E由此得
AAA*（A*）1|A|E（A*）1O
所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0
（2）由于则AA*|A|E取行列式得到
|A||A*||A|n
若|A|0则|A*||A|n1
若|A|0由
（1）知|A*|0此时命题也成立
因此|A*||A|n1
19设ABA2B求B
解由ABA2E可得（A2E）BA故
20设且ABEA2B求B
解由ABEA2B得
（AE）BA2E
即（AE）B（AE）（AE）
因为所以（AE）可逆从而
21设Adiag（121）A*BA2BA8E求B
解由A*BA2BA8E得
（A*2E）BA8E
B8（A*2E）1A1
8[A（A*2E）]1
8（AA*2A）1
8（|A|E2A）1
8（2E2A）1
4（EA）1
4[diag（212）]1
2diag（121）
22已知矩阵A的伴随阵
且ABA1BA13E求B
解由|A*||A|38得|A|2
由ABA1BA13E得
ABB3A
B3（AE）1A3[A（EA1）]1A
23设P1AP其中求A11
解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.
|P|3
24设APP
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