《定积分与微积分基本定理》教案Word文档下载推荐.docx

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求定积分

定积分的简单应用

教学目标

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2．了解微积分基本定理的含义．

教学重点

教学难点

教学过程

一、复习预习

1.导数的概念

2.导数与函数单调性、极值、最值的关系

二、知识讲解

考点1定积分的概念

在f（x）dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．

考点2定积分的几何意义

①当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分f（x）dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）．

②一般情况下，定积分f（x）dx的几何意义是介于x轴、曲线f（x）以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和（右上图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

考点3定积分的基本性质

①kf（x）dx＝kf（x）dx.

②[f1（x）±

f2（x）]dx＝f1（x）dx±

f2（x）dx.

③f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx.

考点4微积分基本定理

如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

为了方便，常把F（b）－F（a）记成F（x），即

f（x）dx＝F（x）＝F（b）－F（a）．

三、例题精析

【例题1】

【题干】求下列定积分：

（1）|x－1|dx；

（2）dx.

【解析】

（1）|x－1|＝

故|x－1|dx＝（1－x）dx＋（x－1）dx

＝＋

＝＋＝1.

（2）dx

＝|sinx－cosx|dx＝（cosx－sinx）dx＋（sinx－cosx）dx

＝（sinx＋cosx）＋（－cosx－sinx）

＝－1＋（－1＋）＝2－2.

【例题2】

【题干】　已知函数f（x）＝（cost－sint）dt（x>

0），则f（x）的最大值为________．

【答案】－1

【解析】因为f（x）＝sindt

＝cos＝cos－cos

＝sinx＋cosx－1＝sin－1≤－1，

当且仅当sin＝1时，等号成立．

【例题3】

【题干】

如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（　　）

A.　　B.　　

C.　　D.

【答案】D

【解析】由⇒x＝或

x＝－（舍），所以阴影部分面积

S＝dx＋dx

＝＋＝.

【例题4】

【题干】一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F（x）相同的方向运动了4米，力F（x）做功为（　　）

A．44J　　　　　　　　　B．46J

C．48JD．50J

【答案】B

【解析】力F（x）做功为10dx＋（3x＋4）dx

＝10x＋

＝20＋26＝46.

四、课堂运用

【基础】

1.dx＝（　　）

A．lnx＋ln2x　　　　　　B.－1

C.D.

解析：

选C　dx＝＝.

2．设函数f（x）＝ax2＋b（a≠0），若f（x）dx＝3f（x0），则x0等于（　　）

A．±

1B.

C．±

D．2

选C　f（x）dx＝（ax2＋b）dx＝＝9a＋3b，

则9a＋3b＝3（ax＋b），

即x＝3，x0＝±

.

3．以初速度40m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为（　　）

A.mB.m

C.mD.m

选A　v＝40－10t2＝0，t＝2，（40－10t2）dt

＝＝40×

2－×

8＝（m）．

【巩固】

4．设a＝sinxdx，则曲线y＝f（x）＝xax＋ax－2在点（1，f

（1））处的切线的斜率为________．

∵a＝sinxdx＝（－cosx）＝2，

∴y＝x·

2x＋2x－2.

∴y′＝2x＋x·

2xln2＋2.

∴曲线在点（1，f

（1））处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln2.

答案：

4＋2ln2

5．（2013·

孝感模拟）已知a∈，则当（cosx－sinx）dx取最大值时，a＝________.

（cosx－sinx）dx＝（sinx＋cosx）

＝sina＋cosa－1

＝sin－1，

∵a∈，∴当a＝时，sin－1取最大值．

【拔高】

6．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．

解：

由得交点A（1,1）；

由得交点B（3，－1）．

故所求面积S＝dx＋dx

＝＋＋＝.

7．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A（2,4）移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．

设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为（x，y），

则（kx－x2）dx＝（x2－kx）dx，

即＝，

解得kx2－x3＝－2k－，

解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为.

课程小结

1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F′（x）＝f（x）的函数F（x），即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数，求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F（x）．

2．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．

3．利用定积分求所围成平面图形的面积，要利用数形结合的方法，确定被积函数和积分上、下限．