三角函数 三角恒等变形 解三角形文档格式.docx

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∴m＝4或，又sinα>

0，cosα<

0，

把m的值代入检验得，m＝4.

3．函数y＝|sinx|－2sinx的值域是（　　）

A．[－3，－1]B．[－1,3]

C．[0,3]D．[－3,0]

[解析]　当0≤sinx≤1时，y＝sinx－2sinx＝－sinx，

此时y∈[－1,0]；

当－1≤sinx<

0时，y＝－sinx－2sinx＝－3sinx，

这时y∈（0,3]，求其并集得y∈[－1,3]．

4．（2012·

潍坊一模）下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x＝对称的是（　　）

A．y＝sin（2x－）B．y＝sin（2x－）

C．y＝sin（2x＋）D．y＝sin（＋）

[解析]　∵T＝π，∴ω＝2，排除D，把x＝代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B.

5．（2012·

厦门模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则角B的值为（　　）

A.B.

C.或D.或

[答案]　D

[解析]　依题意得，·

tanB＝，

∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D.

6．（文）（2012·

焦作模拟）要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝sin2x的图像沿x轴（　　）

A．向右平移个长度单位

B．向左平移个长度单位

C．向右平移个长度单位

D．向左平移个长度单位

[解析]　∵y＝cos2x＝sin，

∴只需将函数y＝sin2x的图像沿x轴向左平移个单位，可得y＝sin2＝cos2x.故选B.

（理）（2012·

济南模拟）为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin的图像（　　）

A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

[解析]　y＝sin＝sin，

y＝sin＝sin，

∴只需将y＝sin向右平移＋＝个长度单位．

7．（2011·

重庆理）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°

，则ab的值为（　　）

A.B．8－4

C．1D.

[答案]　A

[解析]　本题主要考查余弦定理的应用．

在△ABC中，C＝60°

，∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，

∴（a＋b）2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝3ab＝4，∴ab＝，选A.

8．（2012·

原创题）设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a、b、α、β都是非零实数，若f（2012）＝－1，那么f（2013）等于（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

[解析]　因为f（2012）＝asin（2012π＋α）＋bcos（2012π＋β）＝asinα＋bcosβ＝－1，

所以f（2013）＝asin（2013π＋α）＋bcos（2013π＋β）

＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）

＝－（asinα＋bcosβ）＝1.

9．（2012·

西安模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的图像如图所示，则f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2012）的值为（　　）

A．2011B.

C．2012D.

[解析]　由f（x）的图像可以得到A＝，b＝1，T＝4，所以ω＝，故f（x）＝sin＋1，再由点在f（x）的图像上，可得φ＝2kπ，k∈Z，

所以f（x）＝sin＋1.

所以f

（1）＝＋1，f

（2）＝0＋1，f（3）＝－＋1，f（4）＝0＋1，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝4.

所以f

（1）＋f

（2）＋…f（2012）＝2012.

10．（2012·

皖南八校第二次联考）定义行列式运算：

＝a1a4－a2a3，将函数f（x）＝（ω>

0）的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（　　）

A.B．1

C.D．2

[解析]　由题意知，f（x）＝cosωx－sinωx＝2cos（ωx＋）．将函数f（x）的图像向左平移个单位后所得图像对应的函数y＝2cos（ωx＋ω＋）为偶函数，所以ω＋＝kπ，k∈Z，ω＝k－，k∈Z，∵ω>

0，∴ωmin＝1，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题　共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上）

11．（2011·

大纲理）已知α∈（，π），sinα＝，则tan2α＝________.

[答案]　－

[解析]　本小题考查的内容是三角函数值的求法与二倍角公式．

sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－，

tan2α＝＝＝－.

12．（2012·

连云港调研）在△ABC中，若＝＝，则△ABC是________三角形．

[答案]　等边

[解析]　由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，

又0<

A<

π，0<

B<

C<

π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形．

13．在△ABC中，A满足条件sinA＋cosA＝1，AB＝2cm，BC＝2cm，则A＝________，△ABC的面积等于________cm2.

[答案]　　

[解析]　由sinA＋cosA＝1得

2sin（A＋）＝1，∴A＋＝，

即A＝π，由＝得

sinC＝＝＝，

所以C＝，则B＝.

S△ABC＝AB×

BCsinB＝（cm2）．

14．（2012·

合肥月考）已知函数f（x）＝－sin2x＋sinxcosx，则f（）的值为________．

[答案]　0

[解析]　f（x）＝－×

＋sin2x

＝－＋sin2x＋cos2x

＝－＋sin（2x＋）

∴f（π）＝－＋sin＝－＋sin

＝－＋＝0.

15．（2011·

安徽文）设f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则

①f（）＝0

②|f（）|<

|f（）|

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数

④f（x）的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像f（x）不相交

以上结论正确的是________（写出正确结论的编号）．

[答案]　①③

[解析]　由f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立知，直线x＝是f（x）的对称轴．

又f（x）＝sin（2x＋φ）（其中tanφ＝）的周期为π，

∴f（）＝f（＋）可看作x＝的值加了个周期，∴f（）＝0.故①正确．

∵－＝，－＝，

∴和与对称轴的距离相等．

∴|f（）|＝|f（）|，故②不正确．

∵x＝是对称轴，∴sin（2×

＋φ）＝±

1，

∴＋φ＝±

＋2kπ，k∈Z.

∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ，k∈Z，tanφ＝＝，

∴a＝b.

∴f（x）＝2|b|sin（2x＋）或f（x）＝2|b|sin（2x－）．

∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．

由以上知f（x）＝2|b|sin（2x＋）的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.

f（x）＝2|b|sin（2x－）的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.

由于f（x）的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确．

∵f（x）＝asin2x＋bcos2x＝sin（2x＋φ）（其中tanφ＝）．

∴－≤f（x）≤.

又∵ab≠0，∴a≠0，b≠0.

∴－<

b<

，

∴过点（a，b）的直线必与函数f（x）的图像相交．

故⑤不正确．

[点评]　本题考查了三角函数的对称性、周期、最值、单调区间，不等式等知识，综合性较强，题目较难．主要考查学生分析、转化、化简问题的能力.

三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）（2012·

青岛模拟）已知tan（α＋）＝－3，α∈（0，）．

（1）求tanα的值；

（2）求sin（2α－）的值．

[解析]　

（1）由tan（α＋）＝－3可得＝－3.

解得tanα＝2.

（2）由tanα＝2，α∈（0，），可得sinα＝，cosα＝.

因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－，

sin（2α－）＝sin2αcos－cos2αsin＝×

＋×

＝.

17．（本小题满分12分）（文）（2011·

大纲理，17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A－C＝90°

，a＋c＝b，求C.

[解析]　由a＋c＝b及正弦定理可得

sinA＋sinC＝sinB.

又由于A－C＝90°

，B＝180°

－（A＋C），故

cosC＋sinC＝sin（A＋C）＝sin（90°

＋2C）＝cos2C.

cosC＋sinC＝cos2C，

cos（45°

－C）＝cos2C.

因为0°

<

90°

所以2C＝45°

－C，C＝15°

.

（理）（2011·

山东理，17）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知＝.

（1）求的值；

（2）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.

[解析]　

（1）由正弦定理，设＝＝＝k，

则＝＝，

所以＝，

即（cosA－2cosC）sinB＝（2sinC－sinA）cosB，

化简可得sin（A＋B）＝2sin（B＋C）．

又A＋B＋C＝π，

所以sinC＝2sinA.

因此＝2.

（2）由＝2得c＝2a.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2.

得4＝a2＋4a2－4a2×

解得a＝1.

从而c＝2，

又因为cosB＝，且0<

π.

所以sinB＝.

因此S＝acsinB＝×

1×

2×

18．（本小题满分12分）已知向量a＝（1，sinx），b＝（sin2x，cosx），函数f（x）＝a·

b，x∈[0，]．

（1）求f（x）的最小值；

（2）若f（α）＝，求sin2α的值．

[解析]　

（1）f（x）＝sin2x＋sinxcosx

＝＋

＝，

因为x∈[0，]，所以2x－∈[－，]．

当2x－＝－，即x＝0时，f（x）有最小值0.

（2）f（α）＝＝，

得sin（2α－）＝，

∵α∈[0，]，2α－∈[－，]，

sin（2α－）＝<

∴2α－∈（0，），

得cos（2α－）＝＝，

sin2α＝sin（2α－＋）

＝[sin（2α－）＋cos（2α－）]＝.

19．（本小题满分12分）（2012·

焦作模拟）函数f（x）＝