浙江专用版高中数学第一章空间几何体13132球的体积和表面积学案新人教A版必修2Word文档下载推荐.docx

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解析　由表面积公式知，两球的表面积之比为R∶R＝1∶9.

答案　A

3.球的体积是，则此球的表面积是（　　）

A.12πB.16πC.D.

解析　设球的半径为R，则V＝πR3＝π，∴R＝2，

∴表面积S＝4πR2＝16π.

答案　B

4.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.

解析　设大球的半径为R，则有πR3＝2×

π×

13，

R3＝2，∴R＝.

答案　

类型一　球的表面积和体积

【例1】

（1）已知球的表面积为64π，求它的体积.

（2）已知球的体积为π，求它的表面积.

解　

（1）设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·

（4）3＝π.

（2）设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2

＝4π×

52＝100π.

规律方法　1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.

2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.

【训练1】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　）

A．4πB.C．6πD.

解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.

类型二　球的截面问题（互动探究）

【例2】平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）

A.πB.4πC.4πD.6π

[思路探究]

探究点一　用一个平面去截球，截面是什么？

提示　圆面.

探究点二　有关球的截面问题的解题策略如何？

提示　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.

解析　如图，设截面圆的圆心为O′，

M为截面圆上任一点，

则OO′＝，O′M＝1.

∴OM＝＝.

即球的半径为.∴V＝π（）3＝4π.

规律方法　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.

【训练2】已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________.

解析　若两个平行截面在球心同侧，如图

（1），则两个截面间的距离为－＝1；

若两个平行截面在球心异侧，如图

（2），则两个截面间的距离为＋＝7.

答案　1或7

类型三　球的组合体与三视图

【例3】某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.

解　由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为

S＝×

4π×

12＋6×

22－π×

12＝24＋π.

该几何体的体积为：

V＝23＋×

13＝8＋.

规律方法　1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.

2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.

【训练3】已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________.

解析　由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×

3＝12π.

答案　12π

[课堂小结]

1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.

2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.

1.直径为6的球的表面积和体积分别是（　　）

A.36π，144πB.36π，36π

C.144π，36πD.144π，144π

解析　球的半径为3，表面积S＝4π·

32＝36π，体积V＝π·

33＝36π.

2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的（　　）

A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍

解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍.

答案　C

3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．12πB.πC．8πD．4π

解析　由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R）2π＝12π，故选A.

4.在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.

解　依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×

3＝.

由R2＝＋（）2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.

基础过关

1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为（　　）

A.8B.8C.8D.4

解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球，

∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝.

∴正方体的表面积为6a2＝6×

＝8.

2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为（　　）

A.RB.2RC.3RD.4R

解析　设圆柱的高为h，则πR2h＝3×

πR3，∴h＝4R.

答案　D

3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为（　　）

A.4π（r＋R）2B.4πr2R2

C.4πRrD.π（R＋r）2

解析　法一　如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝.故球的表面积为

S球＝4πr＝4πRr.

法二　如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2＝BF·

AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.

4.一个球的表面积是144πcm2，则它的体积是________.

解析　设球的半径为R，则4πR2＝144π，∴R＝6，

∴V＝πR3＝π×

63＝288π（cm3）.

答案　288πcm3

5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.

解析　由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即×

4π＋π＝3π.

答案　3π

6.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？

解　设取出小球后，容器中水面下降hcm，

两个小球的体积为V球＝2＝（cm3），

此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×

52×

h，

所以＝π×

所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降cm.

7.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.

解　该组合体的表面积

S＝4πr2＋2πrl＝4π×

12＋2π×

1×

3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×

13＋π×

12×

能力提升

8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（　　）

A.cm3　　　B.cm3

C.cm3　　　D.cm3

解析　利用球的截面性质结合直角三角形求解.

如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝AB＝×

8＝4（cm）.设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，∴R＝5，

∴V球＝π×

53＝π（cm3）.

9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（　　）

A.B.C.D.

解析　过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝＝R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π＝πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为＝.

10.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是________cm.

解析　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×

6r＝6πr3，高度为8cm的水的体积为8πr2，3个球的体积和为3×

πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4（cm）.

答案　4

11.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.（其中∠BAC＝30°

解　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.

在半圆中可得∠BCA＝90°

，∠BAC＝30°

，AB＝2R，

∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，

S圆锥AO1侧＝π×

R×

R＝πR2，

S圆锥BO1侧＝π×

∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2＋πR2＝πR2.

故旋转所得几何体的表面积为πR2.

探究创新

12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？

解　设圆锥形杯子的高为hcm，

要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，

则必须V圆锥≥V半球，而V半球＝×

πr3＝×

×

43，

V圆锥＝Sh＝πr2h＝×

42×

h.

依题意：

h≥×

43，解得h≥8，

即当圆锥形杯子杯口直径为8cm，高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，

当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，

所以高为8cm时，制造的杯子最省材料.