1、解析由表面积公式知,两球的表面积之比为RR19.答案A3.球的体积是,则此球的表面积是()A.12 B.16 C. D. 解析设球的半径为R,则VR3,R2,表面积S4R216.答案B4.两个半径为1的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是_.解析设大球的半径为R,则有R3213,R32,R.答案类型一球的表面积和体积【例1】 (1)已知球的表面积为64,求它的体积.(2)已知球的体积为,求它的表面积.解(1)设球的半径为R,则4R264,解得R4,所以球的体积VR3(4)3.(2)设球的半径为R,则R3,解得R5,所以球的表面积S4R2452100.规律方法1.已知球的半径,可直接利用公式
2、求它的表面积和体积.2.已知球的表面积和体积,可以利用公式求它的半径.【训练1】在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球,若ABBC,AB6,BC8,AA13,则V的最大值是()A4 B. C6 D. 解析由题意知,底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,V的最大值为.类型二球的截面问题(互动探究)【例2】 平面截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面的距离为,则此球的体积为()A. B.4 C.4 D.6思路探究探究点一用一个平面去截球,截面是什么?提示圆面.探究点二有关球的截面问题的解题策略如何?提示有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转
3、化为平面中圆的有关问题解决,计算时,需要注意球心与截面圆心之间的距离,截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.解析如图,设截面圆的圆心为O,M为截面圆上任一点,则OO,OM1.OM.即球的半径为.V()34.规律方法有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的有关问题解决.【训练2】 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6和8,则这两个截面间的距离为_.解析若两个平行截面在球心同侧,如图(1),则两个截面间的距离为1;若两个平行截面在球心异侧,如图(2),则两个截面间的距离为7.答案1或7类型三球的组合体与三视图【例3】 某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表面积和体
4、积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体,上部是半径为1的半球,该几何体的表面积为S4126221224.该几何体的体积为:V23138.规律方法1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积,关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.【训练3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_.解析由三视图知组合体为球内接正方体,正方体的棱长为2,若球半径为R,则2R2,R.S球表4R24312.答案12课堂小结1.球的表面积、体积公式
5、是解决问题的重要依据,在球的轴截面图形中,球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形,其量值关系是解决问题的主要方法.2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.1.直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36,144 B.36,36C.144,36 D.144,144解析球的半径为3,表面积S43236,体积V3336.2.若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的()A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍解析设气球原来的半径为r,体积为V,则Vr3,当气球的半径扩大到原
6、来的2倍后,其体积变为原来的238倍.答案C3. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A12 B. C8 D4解析由题可知正方体的棱长为2,其体对角线2即为球的直径,所以球的表面积为4R2(2R)212,故选A.4.在半径为R的球面上有A,B,C三点,且ABBCCA3,球心到ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.解依题意知,ABC是正三角形,ABC的外接圆半径r3.由R2()2,得R2.所以球的表面积S4R216.基 础 过 关1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为()A.8 B.8 C.8 D.4解析球的半径为1,且正方体内接于球
7、,球的直径即为正方体的对角线,即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a24,即a2.正方体的表面积为6a268.2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为()A.R B.2R C.3R D.4R解析设圆柱的高为h,则R2h3R3,h4R.答案D3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为()A.4(rR)2 B.4r2R2C.4Rr D.(Rr)2解析法一如图,设球的半径为r1,则在RtCDE中,DE2r1,CERr,DCRr.由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2,解得r1.故球的表面积为S球4r4Rr.法二如图,设球心为O,球的半径为
8、r1,连接OA,OB,则在RtAOB中,OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2BFAFRr,即rRr,故r1,故球的表面积为S球4Rr.4.一个球的表面积是144 cm2,则它的体积是_.解析设球的半径为R,则4R2144,R6,VR363288(cm3).答案288 cm35.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为_.解析由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球,其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和,即43.答案36.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm,两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中,若取出这两个小球,则水面将下降多少?解设取出小球后,容器中水面下降h cm,
9、两个小球的体积为V球2(cm3),此体积即等于它们在容器中排开水的体积V52h,所以所以h,即若取出这两个小球,则水面将下降cm.7.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r1,l3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S4r22rl41221310,该组合体的体积Vr3r2l1312能 力 提 升8.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器厚度,则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析利用球的截面性质结合直角三角
10、形求解.如图,作出球的一个截面,则MC862(cm),BMAB84(cm).设球的半径为R cm,则R2OM2MB2(R2)242,R5,V球53(cm3).9.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()A. B. C. D. 解析过球心作球的截面,如图所示,设球的半径为R,截面圆的半径为r,则有rR,则球的表面积为4R2,截面的面积为R2,所以截面的面积与球的表面积的比为.10.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_cm.解析设球的半径为r,则圆柱形容器
11、的高为6r,容积为r26r6r3,高度为8 cm的水的体积为8r2,3个球的体积和为3r34r3,由题意6r38r24r3,解得r4(cm).答案411.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中BAC30解如图所示,过C作CO1AB于O1.在半圆中可得BCA90,BAC30,AB2R,ACR,BCR,CO1R,S球4R2,S圆锥AO1侧RRR2,S圆锥BO1侧S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧R2R2R2.故旋转所得几何体的表面积为R2.探 究 创 新12.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子,怎样设计最省材料?解设圆锥形杯子的高为h cm,要使冰淇淋融化后不会溢出杯子,则必须V圆锥V半球,而V半球r343,V圆锥Shr2h42h.依题意:h43,解得h8,即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm,高大于或等于8 cm时,冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧rlr,当圆锥高取最小值8时,S圆锥侧最小,所以高为8 cm时,制造的杯子最省材料.
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