北师大版数学必修全套教案Word下载.docx

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重点:

感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点:

周期函数概念的理解，以及简单的应用。

三、学法与教学用具

学法：

数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

教学用具:

实物、图片、投影仪

四、教学思路

【创设情境，揭示课题】

同学们：

我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

（板书课题）

【探究新知】

1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？

可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

（单摆运动、四季变化等）

（板书：

一、我们生活中的周期现象）

2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？

教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：

①如何理解“散点图”？

②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？

③如何理解图1-1中的“Hm”和“t°

（n°

＞0）的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离（即圆的半径）分别为r（r＞0）和rl（rl＞0），由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；

用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．

3．角度制与弧度制的换算．

现在我们知道：

1个周角＝360°

＝r，所以，（板书）360°

＝2πrad，由此可以得到180°

＝πrad，1°

＝≈0．01745rad，1rad＝（）°

≈57.30°

＝57°

18’。

说明：

在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°

＝πrad这一关系式．

今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°

”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°

＝rad，不必写成45°

＝0．785弧度．

前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角（连同角α在内），也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．

角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：

每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；

反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。

【巩固深化，发展思维】

1．例题讲评

例1．把45°

化成弧度。

解：

45°

＝×

45rad＝rad.

例2．把rad化成度。

rad＝×

180°

＝108°

.

例3．利用弧度制证明扇形面积公式S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。

证：

∵圆心角为1的扇形的面积为·

πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为，∴扇形的面积S＝·

·

πr2＝lr.

2．学生课堂练习

（1）填表

度

0°

60°

360°

弧度

一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．

（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。

五、归纳整理，整体认识

（1）主要学习了弧度制的定义；

角度与弧度的换算公式；

特殊角的弧度数。

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？

你的体会是什么？

六、布置作业：

习题1—3中的1、2、6.

七、课后反思

§

4.1锐角的正弦函数§

4.2任意角的正弦函数§

4.3正弦函数y＝sinx的图像（2课时）

（1）回忆锐角的正弦函数定义；

（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；

（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；

（4）掌握任意角的正弦函数的定义；

（5）理解有向线段的概念；

（6）了解正弦函数图像的画法；

（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；

由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；

利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；

讲解例题，总结方法，巩固练习。

通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；

在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；

通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；

培养学生分析问题、解决问题的能力。

1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像。

在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；

作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

投影机、三角板

第一课时§

4.1锐角的正弦函数§

4.2任意角的正弦函数

一、教学思路

我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。

请同学们回忆

（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；

（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？

并想一想它有哪些性质？

学生思考回答以后，教师小结。

【探究新知】

在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：

sinα＝，

如图：

sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈（0，1）。

由于我们通常都是将

角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？

在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，））

的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：

sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。

为简单起见，令r＝1（即为单位圆），那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。

直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数?

一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα（α∈R）。

通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.

正弦函数值有时也叫正弦值.

请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：

角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？

它们的正弦值有什么关系？

角和角呢？

－角和角呢？

－角和－角呢？

通过上述问题的讨论，容易得到：

终边相同的角的正弦函数值相等，即

sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z），说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。

所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。

2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。

一般地，对于周期函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期。

【巩固深化，发展思维】

课本P17的思考与交流。

课本P18的练习。

3．若点P（—3，y）是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．

4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x（x≤0）

的图像上，则sinα＝。

二、归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？

所涉及到的主要数学思想方法有那些？

三、课后反思

第二课时§

4.3正弦函数y＝sinx的图像

三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？

作函数图像的三步骤：

列表，描点，连线。

正弦函数线MP

下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，

角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题

①线段MP的长度可以用什么来表示?

②能用这个长度表示正弦函数的值吗?

如果不能，你能否设计

一种方法加以解决?

引出有向线段的概念．

有向线段：

当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，

y＞0时，把MP看作与y轴同向（多媒体优势，利用计算机演示角α终边在

一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向）．

y＜0时，把MP看作与y轴反向（演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向）．

师生归纳：

①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则是从P→M。

②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫做α的正弦线．

（投影仪出示反馈练习）当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。

演示运动过程，让学生清楚认识到：

当α终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即sinα＝0。

2．作图的步骤

边作边讲（几何画法）y=sinxx[0,2]

作单位圆