各种圆定理总结Word文档格式.docx
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AC（BE+ED）=AB·
CD+AD·
BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
所以命题得证
复数证明
用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：
（a-b）、（c-d）、（a-d）、（b-c）、（a-c）、（b-d）。
首先注意到复数恒等式：
（a?
b）（c?
d）+（a?
d）（b?
c）=（a?
c）（b?
d），两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。
在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；
因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。
因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。
因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；
因此AK·
BD=AB·
CD，且CK·
BD=BC·
DA；
两式相加，得（AK+CK）·
CD+BC·
但AK+CK=AC，因此AC·
DA。
证毕。
三、
托勒密定理：
圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．已知：
圆内接四边形ABCD，求证：
AC·
BD＝AB·
CD＋AD·
BC．
证明：
如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：
BC=AD：
BP，AC·
BP=AD·
BC①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：
CD=AB：
DP，AC·
DP=AB·
CD②。
①＋②得AC（BP＋DP）=AB·
BC．即AC·
BD=AB·
推论
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·
BD≤AB·
BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：
一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、
推广
托勒密不等式：
四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明：
复数恒等式：
（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，
得不等式AC·
BD≤|（a-b）（c-d）|+|（b-c）（a-d）|=AB·
CD+BC·
AD
注意：
1.等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
欧拉定理：
在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·
BC+AB·
CD=AC·
BD
塞瓦定理
简介
塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。
塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
具体内容
塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1
证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴（CB/BD）*（DO/OA）*（AE/EC）=1①
而由△ABD被直线COF所截，∴（BC/CD）*（DO/OA）*（AF/FB）=1②
②÷
①:
即得：
（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×
④×
⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:
DB）*（BE:
EC）*（CF:
FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（BF*ctgA）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（重心）:
如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1
且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。
（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1
因为（BC/CD）*（DG/GA）*（AF/FB）=1，（塞瓦定理）所以（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=K（K为未知参数）且（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：
（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=1
所以（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1
2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
（sin∠BAD/sin∠DAC）*（sin∠ACF/sin∠FCB）*（sin∠CBE/sin∠EBA）=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
（AB/BC）*（CD/DE）*（EF/FA）=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:
FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（AE*ctgB）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理证明
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：
如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×
（BD/DC）×
（CE/EA）=1。
或：
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=
证明一：
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。
三式相乘得：
（AF/FB）×
（CE/EA）=（AG/BD）×
（DC/AG）=1
证明二：
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×
BD/DC×
CE/EA=AF/FB×
FB/PF×
PF/AF=1
它的逆定理也成立：
若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×
（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
梅涅劳斯（Menelaus）定理
证明三：
过ABC三点向三边引垂线AA'
BB'
CC'
，
所以AD：
DB=AA'
：
，BE：
EC=BB'
，CF：
FA=CC'
AA'
所以（AF/FB）×
（CE/EA）=1
证明四：
连接BF。
（AD：
DB）·
（BE：
EC）·
（CF:
FA）
=（S△ADF：
S△BDF）·
（S△BEF：
S△CEF）·
（S△BCF：
S△BAF）
（S△BDF：
S△CDF）·
（S△CDF：
S△ADF）
=1
此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：
于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：
若E，F，D三点共线，则
（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBA/sin∠ABE）=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
该形式的梅涅劳斯定理也很实用
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COA/sin∠AOE）=1。
（O不与点A、B、C重合）
记忆
ABC为三个顶点，DEF为三个分点
（AF/FB）×
（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
空间感好的人可以这么记：
（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
实际应用
为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。
我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。
我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
我们不必考虑怎样走路程最短，只要
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