二次函数与几何综合压轴题题型归纳文档格式.docx
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4、二次函数与轴的交点为整数点问题。
（方法同上）
例：
若抛物线与轴交于两个不同的整数点,且为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:
已知关于的方程（为实数），求证：
无论为何值，方程总有一个固定的根。
解：
当时,;
当时,,,、；
综上所述：
无论为何值,方程总有一个固定的根是１。
6、函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线（是常数）,求证：
不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。
解:
把原解析式变形为关于的方程；
∴，解得：
;
∴抛物线总经过一个固定的点（１，－１）。
（题目要求等价于：
关于的方程不论为何值,方程恒成立）
小结:
关于的方程有无数解
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线、，点在上，分别在、上确定两点、,使得之和最小。
（２）如图，直线、相交，两个固定点、,分别在、上确定两点、,使得之和最小。
（3）如图,是直线同旁的两个定点，线段,在直线上确定两点、（在的左侧），使得四边形的周长最小。
８、在平面直角坐标系中求面积的方法:
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法:
如右图,S△PAB=１/２·
PM·
△x=１/2·
AN·
△y
9、函数的交点问题:
二次函数（）与一次函数（）
（1）解方程组可求出两个图象交点的坐标。
（2）解方程组，即,通过可判断两个图象的交点的个数
有两个交点
仅有一个交点
没有交点
10、方程法
（1）设：
设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
１1、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
、
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
直角三角形
直角梯形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
等腰三角形
全等
等腰梯形
跟角有关的图形
【例题精讲】
O
x
y
A
B
C
D
一 基础构图:
ｙ＝（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PＢ＋ＰC的和最小，求出Ｐ点坐标
在对称轴上找一点P，使得ＰB－PC的差最大，求出P点坐标
★求面积最大 连接AC，在第四象限找一点P，使得面积最大，求出P坐标
★
讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点Ｐ,使得为直角三角形，
求出P坐标或者在抛物线上求点Ｐ，使△AＣP是以AC为直角边的直角三角形．
★讨论等腰三角连接AC，在对称轴上找一点P,使得为等腰三角形，
求出P坐标
★讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，
且以B，Ａ，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二综合题型
例１ （中考变式）如图,抛物线与x轴交与A（1,0）,B（-3，0）两点，顶点为D。
交Y轴于Ｃ
（1）求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
（2）在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△ＭＢＣ是以∠BＣＭ为直角的直角三角形,若存在,求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
（3）若E为抛物线Ｂ、C两点间图象上的一个动点（不与Ａ、Ｂ重合）,过E作ＥF与X轴垂直，交ＢC于Ｆ,设E点横坐标为ｘ.EF的长度为L,
求Ｌ关于X的函数关系式?
关写出Ｘ的取值范围?
当E点运动到什么位置时，线段EＦ的值最大,并求此时E点的坐标？
（4）在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。
当E点运动到什么位置时,以点E、F、Ｈ、D为顶点的四边形为平行四边形？
（5）在（5）的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BＣE的面积最大?
ﻬ例２ 考点：
关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点Ａ、C的坐标分别为（-１，０）、（0,），点Ｂ在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=１，点Ｐ为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合）,过点P作y轴的平行线交BC于点F．
F
P
x＝1
（1）求该二次函数的解析式;
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段ＰF的长；
（3）求△ＰBＣ面积的最大值,并求此时点P的坐标．
例3 考点：
讨论等腰
如图,已知抛物线y＝ｘ2＋bｘ＋c与y轴相交于Ｃ,与x轴相交于A、Ｂ，点A的坐标为（2，0）,点C的坐标为（０，－1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DＣE的面积最大时，求点D的坐标；
备用图
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形,若存在，求点P的坐标,若不存在，说明理由．
E
例4考点：
讨论直角三角
⑴ 如图,已知点A（一1,0）和点B（1,2），在坐标轴上
确定点Ｐ，使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点Ｐ共有（）.
（Ａ）2个（B）4个（C） 6个（D）7个
⑵已知：
如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；
二次函数y＝x2＋ｂｘ+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、Ｃ两点,与ｘ轴交于D、E两点且D点坐标为（１,0）
（1）求二次函数的解析式;
（2）求四边形ＢDＥC的面积S；
2
（3）在x轴上是否存在点P,使得△PBＣ是以P为直角顶点的直角三角形？
若存在，求出所有的点Ｐ，若不存在，请说明理由．
例5 考点：
讨论四边形
已知：
如图所示，关于x的抛物线y=ax２＋x+ｃ（a≠0）与ｘ轴交于点A（－２,0）,点B（６,0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
（2）在抛物线上有一点D,使四边形ＡBDC为等腰梯形,写出点D的坐标，并求出直线AＤ的解析式;
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点Ｍ,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?
如果存在，请直接写出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
综合练习：
1、平面直角坐标系xＯy中,抛物线与ｘ轴交于点A、点Ｂ,与y轴的正半轴交于点Ｃ,点 A的坐标为（1,0）,OB＝OC,抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴上的点Ｐ满足∠AＰB=∠ACＢ,求点P的坐标；
（3） Q为线段ＢD上一点,点A关于∠ＡＱＢ的平分线的对称点为，若,求点Q的坐 标和此时△的面积。
２、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为。
（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OＭ把四边形ACDＢ分成面积为1 :
２的两部分,求出此时点的坐标；
（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点,问：
点Ｐ在何处时△的面积最大?
最大面积是多少?
并求出此时点P的坐标。
3、如图,在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点,顶点为，且对称轴与轴交于点。
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）为中点,直线交轴于，若（0，2）,求抛物线的解析式;
（３）在
（2）的条件下,点在直线上，且使得的周长最小,在抛物线上,在直线上,若以为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标。
4、已知关于的方程。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2） 若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿ｘ轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；
请你结合这个新的图象回答:
当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。
5如图，抛物线ｙ=aｘ2+2ax+ｃ（ａ≠０）与y轴交于点C（0,4），与x轴交于点A（﹣4,０）和B．
（１）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AＢ上的动点，过点Ｑ作QE∥ＡＣ，交BC于点E，连接CＱ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标;
（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线ＡＣ交于点F，点D的坐标为（﹣２,0）．问是否有直线ｌ，使△OＤF是等腰三角形？
若存在,请求出点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1．已知二次函数y＝ｘ 2＋（m-１）x＋ｍ－2的图象与ｘ轴相交于A（ｘ１,0），B（x2,0）两点，且x1<
x2．
（１）若x1x２＜0，且ｍ为正整数,求该二次函数的表达式；
（2）若x1<
１，ｘ2>
1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（０,2）,若存在,求出m的值；
若不存在，请说明理由；
（４）若过点D（0,）的直线与
（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且 = ，求该直线的表达式．
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=ｘ 2+mｘ+ｍ-5,
（１）求证：
不论ｍ取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（２）求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题
例1．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且ｍ＜5，则整数m的值为________＿____
例2．已知二次函数y＝ｘ2－２mx+4m-8.
（1）当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求ｍ的取值范围;
（２）以抛物线y＝x 2－2mｘ＋4m-８的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正（M,N两点在拋物线上），请问:
△ＡMN的面积是与m无关的定值吗?
若是,请求出这个定值；
若不是，请说明理由;
（３）若抛物线ｙ＝ｘ2-2mx＋4m-８与x轴交点的横坐标均为整数,
求整数m的值.
题型四、抛物线与对称，包括：
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例１．已知抛物线（其中ｂ>
０,c≠0）与y轴的交点为A,点Ａ关于抛物线对称轴的对称点为B（m,n）,且AB=２.
（
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