中考数学复习一元二次方程根与系数的关系Word文件下载.docx
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求;
(1)k的值;
(2)方程的两个实数根的平方和.
例3.设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;
(2)
例4.已知关于x的一元二次方程x2-(8+k)x+8k=0
(1)求证:
无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的一边长为5,另两边长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长。
1.已知一元二次方程:
①x2+2x+3=0,②x2﹣2x﹣3=0.下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解
2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<﹣1B.m<1C.m>﹣1D.m>1
3.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是( )
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
4.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,下列说法正确的是( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=﹣1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
5.在下列方程中,有实数根的是( )
A.x2+3x+1=0B.
C.x2+2x+3=0D.
6.正比例函数y=(a+1)x的图象经过第二、四象限,若a同时满足方程x2+(1﹣2a)x+a2=0,则此方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
7.若方程组有一个实数解,则m的值是( )
A.B.C.2D.﹣2
8.一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2,则x1•x2=( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
9.若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2的值是( )
A.﹣2B.2C.3D.1
10.若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则m+n﹣mn的值是( )
A.﹣7B.7C.3D.﹣3
11.点P(a,b)是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点.则以a、b两数为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣5x+6=0B.x2+5x+6=0
C.x2﹣5x﹣6=0D.x2+5x﹣6=0
12.一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根的倒数和等于( )
A.B.﹣C.D.﹣
13.若,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是 _________ .
14.若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是 _________ .
15.关于x的方程(k﹣2)x2﹣4x+1=0有实数根,则k满足的条件是 _________ .
16.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根,则方程的另一个根是 _________ .
17.已知关于x的方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
①x1≠x2;
②x1x2<ab;
③.则正确结论的序号是 _________ .(填上你认为正确结论的所有序号)
18.若两个不等实数m、n满足条件:
m2﹣2m﹣1=0,n2﹣2n﹣1=0,则m2+n2的值是 _________ .
19.设x1,x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根,则的值为 _________ .
20.设x1,x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根,则= _________ .
21.已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则= _________ .
22.关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值;
(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;
②求的值.
23.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
24.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0.
方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
25.当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根?
26.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求的值.
27.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
28.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2﹣6x﹣27=0,x2﹣2x﹣8=0,,x2+6x﹣27=0,x2+4x+4=0,都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
29.已知:
关于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0
无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1﹣x2|=2,求k的值.
30.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根:
(2)若x1,x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求m的值,并求出此时方程的两根.
一元二次方程根与系数的关系答案
例1.解:
将x=0代入原方程得,
(m-2)•02+3×
0+m2-2m-8=0,
∴m2-2m-8=0;
(m+2)(m-4)=0
可解得m1=-2,或m2=4;
当m=-2时,原方程为-4x2+3x=0,
此时方程的解是x1=0,x2=
当m=4时,原方程为2x2+3x=0.
解得x3=0或x4=-
即此时原方程有两个解,解分别为x1=0,x2=,x3=0或x4=-
例2.解:
(1)设方程的两根分别为x1,x2,
x1+x2=-(2k-3),x1•x2=k2-3,
∵方程x2+(2k-3)x+k2-3=0的两个实数根,
∴△≥0,即(2k-3)2-4(k2-3)≥0,
解得k≤;
而x1+x2=,
∴(x1+x2)(x1•x2-1)=0,
∴2k-3=0或k2-3-1=0,
解得k1=,k2=2,k3=-2,
而k≤;
∴k1=
,k2=-2;
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2
=(2k-3)2-2(k2-3)
=2k2-12k+15
当k=,原式=;
当k=-2,原式=47.
例3.解:
根据根与系数的关系可得:
x1+x2=-2,x1•x2=−
(1)(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(−2)2−4×
(−)
=10.
2)=x1x2+1+1+=(−)+2+=
例4.解:
(1)∵△=(8+k)2-4×
8k
=(k-8)2,
∵(k-8)2,≥0,
∴△≥0,
∴无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)解方程x2-(8+k)x+8k=0得x1=k,x2=8,
①当腰长为5时,则k=5,
∴周长=5+5+8=18;
②当底边为5时,
∴x1=x2,
∴k=8,
∴周长=8+8+5=21.
1.解:
方程①的判别式△=4﹣12=﹣8,则①没有实数解;
方程②的判别式△=4+12=20,则②有两个实数解.
故选B.
2.解:
根据题意得△=22﹣4m>0,
解得m<1.
3.解:
根据函数y=kx+b的图象可得;
k<0,b<0,
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中,△=12﹣4×
1×
(k﹣1)=5﹣4k>0,
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根,
故选:
C.
4.解:
关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,
A、当k=0时,x﹣1=0,则x=1,故此选项错误;
B、当k=1时,x2﹣1=0方程有两个实数解,故此选项错误;
C、当k=﹣1时,﹣x2+2x﹣1=0,则(x﹣1)2=0,此时方程有两个相等的实数解,故此选项正确;
D、由C得此选项错误.
5.解:
A、△=9﹣4=5>0,方程有实数根;
B、算术平方根不能为负数,故错误;
C、△=4﹣12=﹣8<0,方程无实数根;
D、化简分式方程后,求得x=1,检验后,为增根,故原分式方程无解.
故选A.
6.解:
由题意知,(a+1)<0,
解得a<﹣1,
∴﹣4a>4.
因为方程x2+(1﹣2a)x+a2=0的△=(1﹣2a)2﹣4a2=1﹣4a>5>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
7.解:
由题意可得方程(2x+m)2=4x
整理得4x2+(4m﹣4)x+m2=0
即△=(4m﹣4)2﹣16m2=0,解得m=.
故选A
8.解:
根据题意得x1•x2==﹣2.
故选D.
9.解:
由一元二次方程x2﹣3x+2=0,
∴x1+x2=3,
故选C.
10.解:
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,
∴m+n=5,mn=﹣2,
∴m+n﹣mn=5﹣(﹣2)=7.
11.解:
∵点P(a,b)是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点.
∴﹣a+5=b,b=整理得a+b=5,ab=6.
设所求一元二次方程x2+mx+c=0.
又∵a、b两数为所求一元二次方程的两根.
∴a+b=﹣m,ab=c
∴m=﹣5,c=6.
因此所求方程为x2﹣5x+6=0.
12.解:
设α,β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根.
则有α+β=﹣2,αβ=﹣5.
∴+==.
13.解:
∵,
∴b﹣1=0,=0,
解得,b=1,a=4;
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0,
即16﹣4k≥0,且k≠0,
解得,k≤4且k≠0;
故答案为:
k≤4且k≠0.
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