直线与抛物线Word格式文档下载.docx

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相交，相切，相离

1、位置关系的判定：

以直线y=kx+m和抛物线：

y2=2px（p>

0）为例．

⎨y2=2px

联立方程：

⎧y=kx+m⇒（kx+m）2=2px，整理后可得：

k2x2+（2km-2p）x+m2=0

⎩

（1）当k=0时，此时方程为关于x的一次方程，所以有一个实根．此时直线为水平线，与抛物线相交．

（2）当k≠0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定．

①∆>

0⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交；

②∆=0⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切；

③∆<

0⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离．

二、中点弦

1122

若直线l:

y=kx+b与抛物线线y2=2px（p>

0）交于A（x,y）,B（x,y），且AB中点为

M（x,y）,y≠0，则k=p．

000

一、直线与抛物线的位置关系

【例1】已知直线y=kx－k及抛物线y2=2px（p>

0），则（）

A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点

【例2】对于抛物线C:

y2=2px（p>

0），我们称满足y2<

2px

的点M（x0

y0

）在抛物线的内部，

0000

若点M（x,y）在抛物线y2=4x的内部，则直线l:

yy=2（x+x）与y2=4x（）

（A）恰有一个公共点（B）恰有两个公共点

（C）可能有一个公共点也有可能两个公共点（D）没有公共点

【例3】已知抛物线C的方程为x2=1y，过点A（0,-1）和点B（t,3）的直线与抛物线C没有公共

2

点，则实数t的取值范围是（）

A．（-∞,-1）（1,+∞）

B．⎛-∞,-

2⎫⎛

2,+∞⎫

ç

2⎪ç

2⎪

⎝⎭⎝⎭

C．（-∞,-22）（22,+∞）

D．（-∞,-

2）（

2,+∞）

【例4】抛物线C:

y2=4x，直线L过点P（0，1），若L与C只有一个公共点，求直线L的方程．

【例5】抛物线y=4x2上的点中，与直线y=4x-5的距离最小的点的坐标是．

【例6】若曲线y2=x+1与直线y=kx+b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是．

【例7】抛物线y2=1x与圆（x-a）2+y2=1由四个不同交点，则a的取值范围是．

【巩固训练】

1.过点M（-1,0）且与抛物线x2=2y只有一个公共点的直线有条．

2.求出过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程．

3.若抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q，过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是．

4.已知点A（-2，3）在抛物线C：

y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为．

二、抛物线中的弦长、中点问题

【例8】已知直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点，且AB的中点为M（2,y0），求y0及弦

AB的长．

【例9】∆ABC内接于抛物线y2=32x，其重心与抛物线的焦点F重合，若A点坐标是（2,8），求直线BC的方程．

【例10】已知直线y=k（x-2）与抛物线C:

y2=8x相交于A、B两点，F为抛物线C的焦点．若

|FA|=2|FB|，则实数k=．

【例11】若抛物线y=ax2-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，求a的范围

【例12】过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是

【例13】AB是抛物线y=x2的一条过焦点的弦，且AB=4，则AB中点到直线y+1=0的距离

1.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

2.过抛物线y2=4（x+1）的焦点、倾斜角为θ的直线交抛物线A、B两点，若

θ=．

3.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是（）

AB=16，则

3

A．y2=8-4x

B．y2=4x-8

C．y2=16-4x

D．y2=4x+16

4.抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是．

2→→

5.已知抛物线C：

y＝8x与点M（－2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·

MB

＝0，则k＝．

三、抛物线综合

【例14】设A,B是抛物线y2=2px（p>

0）上的点，且满足OA⊥OB，直线AB过定点，并求此定点坐标．

【例15】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．

（1）求证：

“如果直线l过点T（3，0），那么OA⋅OB=3”是真命题；

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

【例16】在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0,p）作直线与抛物线x2=2py（p>

0）相交于A、B

两点，若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值．

【例17】已知抛物线y＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·

OB＝

2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A．2B．3

C．

8

【例18】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a,-4）（a>

0）到焦点F

的距离为5．

（1）求抛物线的方程与实数a的值；

（2）直线l过焦点F，且点M到直线l的距离为4，求直线l的方程；

（3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使∆FPM的面积最大．

【例19】已知两点M（0,1）、N（0,-1），平面上动点P（x,y）满足⋅+MN⋅NP=0．

（1）求动点P（x,y）的轨迹C的方程．

（2）过点P（4,0）的直线l与轨迹C只有一个公共点，求直线l的方程．

（3）设A、B为轨迹C上异于原点的两点，且满足FA⋅FB=0，延长AF、BF分别交轨迹C于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．

【例20】抛物线C：

x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一

-→

点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则OR·

OQ＝．

【例21】如图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点p（x，y）（y＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）．

P

（1）求该抛物线上纵坐标为

的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，

y1+y2

求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．

y0

【例22】如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2，P为该平面上的动点，过P作直线l的

垂线，垂足为Q，且PQ⋅FQ=1|QF|2．

（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N，已知NA=λ1AF，NB=λ2BF，求证：

λ1+λ2为定值

1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）

|BF|－1A．

|AF|－1

B．|BF|2－1

|AF|2－1

C．|BF|＋1

|AF|＋1

|BF|2＋1

D

．

|AF|2＋1

2.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段

AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）

3.已知抛物线y2=2x，在y轴上的截距为2的直线l与抛物线交于M,N两点，以MN为直径的圆过原点，求直线l的方程．

4.已知点P（2,0），点Q在曲线C:

y2=2x上．

（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；

（2）求|PQ|的最小值．

5.已知抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，∆ABC的三个顶点都在抛物线上，且∆ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为l：

4x+y-20=0．

（1）求抛物线的方程；

（2）若O是坐标原点，问是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于P、Q两点，且

π∠POQ=?

6.如图，F是抛物线y2=2px（p>

0）的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．

（1）当k取不同数值时，求直线l与抛物线交点的个数；