中考数学复习17因动点产生的线段和差问题Word格式.docx

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图4图5图6

例502019年湖南省郴州市中考第26题

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（2,0）、C（0,2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时点P的坐标；

（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？

若存在，请求出点G的坐标；

若不存在，请说明理由．

图1图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG的周长最小．

思路点拨

1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．

2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和．

3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标．

图文解析

（1）因为抛物线与x轴交于A（－1,0）、B（2,0）两点，设y＝a（x＋1）（x－2）．

代入点C（0,2），可得a＝－1．

所以这条抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－2）＝－x2＋x＋2．

（2）如图3，连结OP．设点P的坐标为（x,－x2＋x＋2）．

由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，

所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4．

因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P（1,2）．

（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：

如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小．

由于GA＝GC，因此当GA＋GM最小时，GC＋GM最小．

当点G落在AM上时，GA＋GM最小（如图5）．

图3图4图5

第二步，代数计算，求解点G的坐标：

如图6，，cos∠CAO＝，所以，E．

如图7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．

由A（－1,0）、M，得直线AM的解析式为．

作GH⊥x轴于H．设点G的坐标为．

由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．

所以．解得．所以G．

图6图7图8

考点伸展

第

（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）．

因为△ABC的面积是定值，因此当△PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大．

过点P作x轴的垂线，交CB于F．

因为△PCF与△PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，△PCB的面积最大．

设点P（x,－x2＋x＋2），F（x,－x＋2），那么PF＝－x2＋2x．

当x＝1时，PF最大．此时P（1,2）．

例512019年湖南省湘西州中考第25题

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C（－3,－3）均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；

（2）设点D（x,y）是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

（3）若点P（m,n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为S，过点P作PN⊥l，垂足为N，试判断△FNS的形状，并说明理由；

（4）若点A（－2,t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MF＋MA的值最小．请直接写出此时点M的坐标与MF＋MA的最小值．

图1

请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮

（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大．点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，△FNS保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，ME＋MA最小．

1．第

（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数．

2．第（3）题是典型结论：

抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离．

3．第（4）题要经过两步说理，得到MF＋MA的最小值是点A到l的垂线段长．

（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y＝ax2．

代入点C（－3,－3），得．所以抛物线的解析式为．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B、C（－3,－3），得

解得，b＝－2．所以直线BC的解析式为．

（2）由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G．

所以h＝GD＝＝．

因此当时，h取得最大值，最大值为．

（3）如图2，设点为H．设直线PQ的解析式为．

联立直线PQ：

与抛物线，消去y，得．

所以x1·

x2＝．它的几何意义是HS·

HN＝．

又因为HF＝．所以HF2＝HS·

HN．所以．

所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．

又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS是直角三角形．

（4）MF＋MA的最小值是，此时点M的坐标是．

图2图3图4

第（3）题也可以通过计算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC＝90°

．

应用这个结论，就容易解答第（4）题：

如图3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．

当ME＋MA的值最小时，MF＋MA的值也最小．

当A、M、E三点共线时，ME＋MA的值最小，最小值为AE．

而AE的最小值为点A到l的垂线段，即AE⊥l时，AE最小（如图4）．

2019-2020学年数学中考模拟试卷

一、选择题

1．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（　　）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4

2．已知P（x，y）是直线y＝上的点，则4y﹣2x+3的值为（　　）

A．3B．﹣3C．1D．0

3．已知二次函数y＝x2﹣4x+a，下列说法错误的是（　　）

A．当x＜1时，y随x的增大而减小

B．若图象与x轴有交点，则a≤4

C．当a＝3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3

D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a＝﹣3

4．如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，∠1＝120°

，∠2＝50°

，则∠3为（　　）

A．70°

B．60°

C．45°

D．30°

5．已知直线y＝kx﹣2经过点（3，1），则这条直线还经过下面哪个点（）

A．（2，0）B．（0，2）C．（1，3）D．（3，﹣1）

6．若代数式的值与互为相反数，则（）

A．1B．2C．D．4

7．甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队？

如果设应从乙队调人到甲队，列出的方程正确的是（）

A．B．C．D．

8．如图是型钢材的截面，5个同学分别列出了计算它的截面积的算式，甲：

；

乙：

丙：

丁：

戊：

.你认为他们之中正确的是（）

A．只有甲和乙B．只有丙和丁

C．甲、乙、丙和丁D．甲、乙、丙、丁和戊

9．已知，是上一点，用尺规在上确定一点，使∽，则符合要求的作图痕迹是（）

A.B.C.D.

10．转动A、B两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。

如图转动A、B各一次配紫色成功的概率是（）

11．下列四个函数中，自变量的取值范围为≥1的是（）

12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（　　）

A．B．8C．D．

二、填空题

13．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°

得到△AED，若AB＝5，AC＝4，BC＝2，则BE的长为_____．

14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°

，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°

后得到△ADE，则∠BAE＝_____．

15．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？

若设生产甲种零件x天，乙种零件y天，则根据题意列二元一次方程组是__．

16．下面是按一定规律排列的代数式：

a2、3a4、5a6、7a8、…，则第10个代数式是_____．

17．已知关于x的不等式2x﹣m+3＞0的最小整数解为1，则实数m的取值范围是_____．

18．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝_____．

三、解答题

19．如图，点A（﹣1，m）是双曲线y1＝与直线y2＝﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB＝

（1）求m的值；

（2）求△AOC的面积；

（3）直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．

20．阅读材料：

求值：

1+2+22+23+…+22018+22019

解：

设S＝1+2+22+23+…+22018+22019，①

将等式两边同时乘2得：

2S＝2+22+23+…+22019+22020，②

②﹣①得：

S＝22020﹣1，即1+2+22+23+…+22018+22019＝22020﹣1

解答下列问题：

（1）2+22+23+…+29+210＝　　；

（2）求1+3+32+33+…+3n﹣1+3n（n为正整数）的值．

21．有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，经过7min同时到达C点，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：

（1）A、B两点之间的距离是　　．m，甲机器人前2m